101北市中正高中

如題
請享用
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題外話
小弟今年沒考
因為暑假要去高雄進修
等我進修回來還要補去年六月底以後到今年的進度
可能會仆街orz
各位多加油

請教第三題
還有第四題m=-3/2怎麼得到的

版上高手請不吝告知

另外第二題
先令高h, C到山腳為x
我是利用tan(3theta)=tan(2theta+theta)
              tan(2theta)=tan(theta+theta)
              得x=35 在求出h

可是我這樣做就花了我約20分鐘
請教有更簡潔的作法嗎

謝謝

第二題
如圖，可知 \( CD=AD=100 \) ，
在 \( \Delta CDE \) 中用正弦定理， 得到
\(\displaystyle \frac{100}{\sin3\theta}=\frac{40}{\sin\theta} \)
\(\displaystyle 3-4\sin^2\theta=\frac{5}{2} \)
\(\displaystyle \sin^2\theta=\frac{1}{8} \)
\(\displaystyle \sin\theta=\frac{1}{\sqrt8} \)
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt7}{\sqrt8} \)
\(\displaystyle BC=CD\sin2\theta=25\sqrt{7} \)


第三題
若第一次反面，則只要剩下的 \( n-1 \) 次不要連續正面就好；
若第一次正面，則第二次必須反面，只要剩下的 \( n-2 \) 次不要連續正面就好；
故 \(\displaystyle P_n=\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{4}P_{n-2} \)
以及 \( P_1=1, P_2=\frac{3}{4} \)
剩下的就慢慢算。

第四題
前者兩根為 \( 1+i, 1-i \)
如果後者有共軛虛根，我們知道虛根對稱於 \( x \) 軸，只要實部不為 \( 1 \) ，必為等腰梯形，四點共圓；
\(\displaystyle D=m^2-1<0, \Rightarrow -1 < m < 1 \) ；
實部為 \( 1 \) ，\( -2m=2 \) 即 \( m=-1 \) 不在判別式的範圍內，所以這部分是 \( -1 < m < 1 \) 。
如果是相異實根，設兩根為 \( p < q \) ，顯然要有 \( p < 1 < q \) 才行，
而且直徑會在 \( x \) 軸上，由直角三角形子母相似性質知道 \( (1-p)(q-1)=1^2 \)
\( -(1+2m+1)=1 \)
\(\displaystyle m=-\frac{3}{2} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-6-17 07:48 PM 編輯 ]

謝謝老王老師

真是太漂亮的解法

再次感謝你

1.
設\( Γ_1 \)：\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \le 1 \)、\( Γ_2 \)：\( \displaystyle \frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \le 1 \)，其中\( a>b>0 \)，求\( Γ_1 \)與\( Γ_2 \)交集的區域面積為？
看到老王老師的解法，讓我想到另一題

通過橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上兩點\( (0,-4) \)，\( \displaystyle (\frac{5 \sqrt{3}}{2},2) \)的直線L，將橢圓內部分割成兩個區域，試問較小區域的面積為？
(1)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3} \)　(2)\( \displaystyle \frac{25 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \)　(3)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \)　(4)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-5 \sqrt{3} \)
(98桃園縣國中聯招，https://math.pro/db/thread-826-1-1.html)


8.若\(\cases{\displaystyle x=\frac{12z^2}{1+36z^2} \cr y=\frac{12x^2}{1+36x^2} \cr z=\frac{12y^2}{1+36y^2}} \)，則\( x+y+z= \)

解方程組\( \displaystyle \cases{1+x^2=2y \cr 1+y^2=2z \cr 1+z^2=2x} \)。


102.3.28補充
Find all real solutions to the following system of equations. Carefully justify your answer.
\( \cases{\displaystyle \frac{4x^2}{1+4x^2}=y \cr \frac{4y^2}{1+4y^2}=z \cr \frac{4z^2}{1+4z^2}=x} \)
(1996 Canada National Olympiad，http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1996)
https://math.stackexchange.com/q ... -involving-fixed-po

計算題
4.
已知函數\( f(x)=ax^2-c \)( \( a,c \in R \) )滿足\( -4 \le f(1) \le -1 \)，\( -1 \le f(2) \le 5 \)，
(1)利用Lagrange多項式，將\( f(x) \)表為\( P_1(x)f(1)+P_2(x)f(2) \)，其中\( P_1(x) \)與\( P_2(x) \)均為二次多項式，則\( P_1(x)= \)？\( P_2(x)= \)？
(2)求\( f(3) \)之值的範圍？

高中數學常見題之一題多解
http://i.imgur.com/XaQ6H.gif
http://i.imgur.com/MvBFJ.gif
http://i.imgur.com/HDRBC.gif

已知a、b為實數，\( f(x)=ax^2+bx \)，滿足\( 1 \le f(1) \le 2 \)，\( 2 \le f(2) \le 4 \)，若\( P \le f(3) \le Q \)，則數對\( (P,Q) \)為何？
(101桃園縣高中聯招，https://math.pro/db/thread-1416-1-1.html)

101.11.25補充
設\( f(x)=ax^2+bx+c \)，若已知\( 1 \le f(1) \le 2 \)，\( 1 \le f(2) \le 4 \)，\( 3 \le f(3) \le 11 \)，求\( f(4) \)之最大值？
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=12657(連結已失效)

110.8.2補充
若二次實係數多項式函數\(f(x)\)滿足\(\cases{-1\le f(1)\le 3 \cr 6 \le f(2)\le 10 \cr 2 \le f(4) \le 24}\)，則\(f(7)\)的最大值？
(110竹東高中，https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html)

6.
設\( x_1 \)，\( x_2 \)，…，\( x_n \)都是正數且\( n \ge 2 \)，試分別利用算幾不等式與數學歸納法兩種方法證明：
\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\frac{x_3^2}{x_4}+……+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+…+x_n \)

設\( x_1,x_2,...,x_n \)都是正數，試證\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+...+x_n \)。
(100桃園高中，https://math.pro/db/thread-1144-1-1.html)

設\( a_1,a_2,...,a_n \)皆為正數，求證：\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \le \frac{a_1^2}{a_2}+\frac{a_2^2}{a_3}+...+\frac{a_n^2}{a_1} \)
(94高中數學能力競賽　台南區筆試一試題，h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_Tainan_01.pdf連結已失效)

101.12.11補充
我在這本書找到這題的數學歸納法證明
夏興國，數學歸納法縱橫談

老師您好，請問填充第1題兩橢圓所夾面積應該要怎麼處理呢?
可以指點一下嗎?謝謝您。

利用伸縮變換，作出兩圓 \( x^2+y^2=a^2 \) 和 \( (x-a)^2+y^2=a^2 \)
計算兩圓交集面積再乘上 \(\displaystyle  \frac{b}{a} \) 就好。
如圖
兩圓交集面積為 \(\displaystyle 2 \times \frac{a^2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}a^2}{2} \)
所以所求為 \(\displaystyle \frac{2ab\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}ab}{2} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2012-6-17 09:46 PM 編輯 ]

老師您好，謝謝您的解答，很詳細...
另外可以請問計算4的第1小題應該如何處理呢??
只有兩個點的值怎麼用lagrange插值法呢?謝謝您。

計算 4. 沒看過這樣的變形的 Lagrange 插值多項式

不過猜測 \(\displaystyle P_{1}(x)=\frac{1}{(-3)}(x^{2}-4) \), \(\displaystyle P_{2}(x)=\frac{1}{3}(x^{2}-1) \)

也就是滿足次數 2, 一次項零，1, 2 代入又會等於 1,0 的多項式

我的想法是，如果找到某個 \( k \) ，使得 \( f(k)=0 \)
那麼
\(\displaystyle f(x)=f(1) \frac{(x-2)(x-k)}{(1-2)(1-k)}+f(2) \frac{(x-1)(x-k)}{(2-1)(2-k)} \)
但是對於找 \( f(3) \) 的範圍似乎沒有助益。