一、填空題
1.
設凸五邊形\(ABCDE\)，其中\(\overline{AB}//\overline{CE}\)，\(\overline{BC}//\overline{AD}\)，\(\overline{AC}//\overline{DE}\)，\(\angle ABC=120^\circ\)，\(\overline{AB}=3\)，\(\overline{BC}=5\)，\(\overline{DE}=14\)，求\(\triangle BDE\)的面積。
2.
設\(x,y,z\in\mathbb{R}\)，滿足\(\begin{cases}x+y+z=3\\xy+yz+zx=-9\end{cases}\)，若\(z\)的最大值\(M\)，最小值\(m\)，求數對\((M,m)\)。
3.
有一長方形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3\)，\(\overline{BC}=4\)，將此長方形沿對角線\(\overline{AC}\)折起。若折起後平面\(ACD\)與平面\(ABC\)的兩面夾角為\(90^\circ\)，求\(\overline{BD}\)的長度。
4.
小明在地面\(A\)點測得一座山峰仰角為\(\theta\)，當他向山腳前進150公尺到達\(B\)點，測得山峰仰角為\(2\theta\)，繼續再向山腳前進50公尺到達\(C\)點，測得山峰仰角為\(90^\circ-\theta\)。已知\(A,B,C\)皆在山的同一側，則山高為多少公尺。
5.
曾老師在兒童節要發糖果給高一忠班的30個同學。這些同學分三群，\(A\)群一直都說實話，\(B\)群一直都說謊話，\(C\)群交替地說實話或謊話。在\(C\)群中，每位同學第一個問題可任意地說實話或謊話，但接續的問題說實話與謊話的回答均與前一題相反。曾老師依序問每個同學同樣的三個問題
(1)你是不是都說實話？然後老師給了每一位回答[是]的同學一顆糖果，總共發了21顆糖果
(2)你是不是交替地說實話或謊話中的一位？然後老師給每一位回答[是]的同學一顆糖果，共發了12顆糖果
(3)你是不是都說謊話？然後老師給每一位回答[是]的同學一顆糖果，共發了8顆糖果
請問曾老師共發給總是說實話的同學多少顆糖果？
6.
若\(0<x<1\)且滿足方程式\(8^{log_2x}\cdot x^{log_28x}=1\)，求\(x\)。
7.
已知矩陣相乘\(\left[\matrix{a&b\cr c&d\cr e&f}\right]\left[\matrix{x&y&z\cr u&v&w}\right]=\left[\matrix{0&1&1\cr 1&0&1\cr 1&1&0}\right]\)，則\(\left[\matrix{a&b\cr e&f}\right]\)的反方陣可為下列何者？
(A)\(\begin{bmatrix}x&y\\u&v\end{bmatrix}\) (B)\(\begin{bmatrix}y&z\\v&w\end{bmatrix}\) (C)\(\begin{bmatrix}x&z\\u&w\end{bmatrix}\) (D)\(\begin{bmatrix}z&x\\w&u\end{bmatrix}\) (E)\(\begin{bmatrix}z&y\\w&v\end{bmatrix}\)
8.
如下圖是一個長方體，其中\(A、B\)是二個頂點。已知\(\overline{AB}=9\)，若長方體中有一個邊長為6，在長方體有最大體積之下，求此時長方體的表面積。
9.
如下圖，有一個矩形且已知切割三個直角三角形面積分別為3,4,5，試求內部\(T\)面積。
10.
已知\(A(-3,-2,1)\)、\(B(3,1,1)\)、\(C(-1,0,2)\)為空間中三點，求\(B\)點到直線\(AC\)的距離。
11.
設坐標平面上，曲線\(y=\log_2(32x)\)與直線\(x=8、x=17\)及\(x\)軸所圍成區域\(S\)之面積為\(P\)，曲線\(y=log_2(x+7)\)與直線\(x=1、x=10\)及\(x\)軸所圍成區域\(T\)之面積為\(Q\)，求\(P-Q\)之值。
12.
設\(A,B\)為複數平面上的兩點，其所對應的複數分別為\(z,w\)且\(|\;z|\;=|\;w|\;=4\)。已知點\(A\)以原點\(O\)為中心逆時針旋轉\(120^{\circ}\)後會與點\(B\)重合，且\(z\)和\(w\)為實係數方程式\(x^2+px+q=0\)的兩根，求\(p+q\)之值。
二、計算證明題
1.
已知\(\displaystyle \frac{sin^4\theta}{4}+\frac{cos^4\theta}{9}=\frac{1}{13}\)，試求\(\displaystyle \frac{sin^{2026}\theta}{4^{1013}}+\frac{cos^{2026}\theta}{9^{1013}}=\)？
2.
已知空間中有一個四面體的四個頂點分別為\(A(0,0,2)\)，\(B(3,6,0)\)，\(C(0,0,0)\)，\(D(6,3,0)\)，平面\(E\)通過\(A\)點與\(\overline{BD}\)中點，且平面\(E\)與\(\overline{BC}\)有交點。若平面\(E\)將此四面體分成兩塊，其中一塊的體積為原四面體的\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，求此平面\(E\)的方程式。
3.
若二次函數\(y=f(x)=ax^2+bx+c\)在\(x=1\)附近的局部特徵近似於直線\(y=2x+1\)，則三次函數\(y=g(x)=ax^3+bx^2+cx\)在\(x=1\)附近的局部特徵的近似直線方程式為何。
4.
在\(\triangle ABC\)中，已知頂點\(A(-8,-6)\)，且兩條中線\(\overline{BD}\)與\(\overline{CE}\)分別在\(x\)軸與\(y\)軸上，則求(1)\(\triangle ABC\)面積 (2)\(\triangle ABC\)的外心坐標。
5.
坐標平面上，設\(\Gamma_1\)為拋物線\(y=x^2\)，\(\Gamma_2\)是將\(\Gamma_1\)往右平移2單位，再向上平移4單位所得的拋物線，試求
(1)已知直線\(L\)與\(\Gamma_1\)，\(\Gamma_2\)都相切，求\(L\)的方程式。
(2)求經由\((1)\)所求出的直線\(L\)與\(\Gamma_1\)，\(\Gamma_2\)所圍成的區域面積。
