1.
方程組\(\cases{a_1x+b_1y+c_1z=d_1\cr a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \cr a_3x+b_3y+c_3z=d_3}\)，令\(\Delta=\left| \matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|\)，\(\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|\)，\(\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|\)，\(\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|\)。
試證：若方程組之幾何意義為「三平面兩兩相交於一直線，且三直線互相平行」，則\(\Delta=0\)且\(\Delta_x\)、\(\Delta_y\)、\(\Delta_z\)至少有一不為0。
相關題目，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748
2.
針對本題：「\(f(x)\)是一個多項式函數，\(deg\) \(f(x)=1\)，\(1\le f(1)\le 4\)，\(-2\le f(2)\le 7\)，求\(f(3)\)之範圍」。
請用兩種不同解法，求出本題的正確答案。
相關題目，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1422&page=1#pid6438
3.
已知\(f(x)=(3x^{5}+2x^{4}-4x-2)^{115}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots+a_{115}x^{115}\)。
若\(\displaystyle p=\sum_{k=0}^{57}a_{2k}\)，\(\displaystyle q=\sum_{k=0}^{57}(-1)^{k}a_{2k}\)，\(\displaystyle r=\sum_{k=0}^{28}a_{4k+1}\)，\(\displaystyle s=\sum_{k=0}^{28}a_{4k+3}\)，試求數對\((p,q,r,s)\)。
4.
設\(\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}(1-x)^{2}dx\)，\(n=1,2,3,\dots\)，試求(1)\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}\) (2)\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^3\cdot a_n\)。
5.
已知三角形\(ABC\)的三邊長分別為\(a,b,c\)，且其外接圓半徑\(\displaystyle R=\frac{a\sqrt{bc}}{b+c}\)。
求此三角形三內角的餘弦值之和=?
6.
直角\(\triangle ABC\)中，\(\angle BAC=90^{\circ}\)，今\(\overline{AB}\)上一點\(D\)滿足\(\angle ABC=2\angle ACD\)且\(\overline{BC}=2\overline{BD}\)，若\(\overline{AD}=1\)，求\(ABCD\)面積=?
7.
設\(f(x)\)和\(g(x)\)均為二次實係數多項式且\(f(x)\)的領導係數為1，\(g(x)\)的領導係數為4，若\((f(x))^2\)除以\(g(x)\)的餘式為\(\displaystyle\frac{11x-15}{4}\)；\((g(x))^2\)除以\(f(x)\)的餘式為\(28x-40\)，求\(f(x)=\)?
8.
有八個學生在雄中司令臺圍坐一圈，今每人同時丟擲一個公正的硬幣一次（即出現正面和反面的機率皆為\(\displaystyle\frac{1}{2}\)），試求沒有任相鄰二人皆擲出反面的機率=?
9.
空間中，\(S\)為以\(P(1,0,0)\)為球心，半徑為1的球面，若\(Q(a,b,c)\)為球面上的動點，滿足\(a>1,b>0,c>0\)，若過\(Q\)且與球面\(S\)相切的平面\(E\)，分別與\(x\)軸、\(y\)軸、\(z\)軸交於點\(A,B,C\)，試求\(\triangle ABC\)的最小面積=?
10.
設\(a>0\)，\(f(x)=x^{3}+ax^{2}-a^{2}x\)的圖形為\(\Gamma\)，若\(f(x)\)在\(x=b\)有極小值，求過點\((b,f(b))\)且與\(\Gamma\)相切的切線與\(\Gamma\)所圍成的區域面積=?（以\(a\)表示）
11.
求出所有的正整數\(n\)，使得\(26+\sqrt{2026-n}\)是一個完全平方數。
12.
空間坐標中，點\((x,y,z)\)，滿足\(x,y,z\)皆為整數的點，稱為格子點。已知四面體\(OABC\)的四個頂點為\(O(0,0,0)\)，\(A(10,20,30)\)，\(B(20,20,30)\)，\(C(30,10,10)\)，則在四面體\(OABC\)的內部或邊界上，有多少個格子點?
13.
空間坐標中，\(A,B\)兩點在某直線\(L\)的投影點分別為\(C,D\)。已知\(\overline{AC}=2\)，\(\overline{BD}=6\)，且兩直線方程式分別為\(AC\)：\(\displaystyle\frac{x-7}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-5}{2}\)與\(BD\)：\(\displaystyle\frac{x=1}{1}=\frac{y+7}{4}=\frac{z-1}{1}\)，試求\(\overline{AB}\)的長度=？
坐標空間中，\(A,B\)兩點在某直線\(L\)上的投影點分別為\(C,D\)。已知\(\overline{AC}=\overline{BD}=\sqrt{3}\)，且兩直線方程式分別為\(AC\)：\(\displaystyle\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=z-1\)與\(BD\)：\(\displaystyle\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{-1}\)，則\(\overline{AB}\)的長度為
。
(114高中數學能力競賽台北市(萬芳高中)筆試二試題，
https://math.pro/db/thread-4050-1-1.html)
14.
坐標平面上，已知\(O\)為原點，矩形\(OABC\)的三個頂點\(A,B,C\)均在橢圓\(\displaystyle\frac{x^{2}}{16}+\displaystyle\frac{y^{2}}{3}=1\)上，試求矩形\(OABC\)的面積=?
15.
設\(a,b,c,d\)為正實數且滿足\(abcd=1\)。
試證明：\(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{a+b}+\sqrt{c+d}\)
