1.
如圖，在地平面的三點\(A\)、\(B\)、\(C\)，分別測得大樓\(\overline{OH}\)樓頂\(H\)的仰角依序為\(\theta\)、\(2\theta\)、\(3\theta\)。已知\(\overline{AB}=240\)公尺，\(\overline{BC}=90\)公尺，求樓高\(\overline{OH}\)為　　　公尺。

某人在地面\(A\)點，測得山峰的仰角為\(\theta\)，此人向山腳前進100公尺到達\(B\)，測得山峰仰角為\(2\theta\)，再向山腳前進40公尺到達\(C\)，又測得山峰仰角為\(3\theta\)，則山高為　　　公尺。
(101中正高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1422&page=1#pid6435)

2.
設\(z\)為複數且\(|\;z|\;=1\)，若\(|\;z^2+iz+1|\;\)的最大值為\(a\)，最小值為\(b\)，則數對\((a,b)=\)　　　。

若\( z \in C \)，\( |\; z |\;=1 \)，則\( |\; z^2-z+2 |\; \)的最小值為？
(100南港高工，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3600)

3.
若正數數列 \(\langle a_n \rangle\) 滿足 \(a_1 = 1\)，且對於 \(n \ge 2\) 時皆滿足\(\displaystyle \sqrt{S_n} + \sqrt{S_{n-1}} = \frac{a_n}{2n-1}\)，其中 \(S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)，則 \(S_n\) 的一般項為　　　。

4.
化簡 \(\sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}}=\)　　　。

5.
有個半徑為 1 單位的圓及圓外一點\(P\)，今由\(P\)點往此圓作兩條切線可得兩個切點\(A\)、\(B\)，則 \(\vec{PA} \cdot \vec{PB}\) 的最小值為　　　。

8.
極限值 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n + n^2 + n^3 + \cdots + n^n}{1^n + 2^n + 3^n + \cdots + n^n} =\)　　　。

10.
在平面上，點 \(P_2, P_3, \dots, P_6\) 為 \(\overline{P_1P_7}\) 的等分點，且 \(\overline{P_1P_2} = \overline{P_2P_3} = \cdots = \overline{P_6P_7} = 2\)，\(\overline{AP_1} = 6\)，\(\overline{AP_7} = 8\)，試求：\(\vec{AP_1} \cdot \vec{P_1P_7} + \vec{AP_2} \cdot \vec{P_1P_7} + \vec{AP_3} \cdot \vec{P_1P_7} + \dots + \vec{AP_7} \cdot \vec{P_1P_7} =\)　　　。

12.
空間中有 \(A(1, 4, 2)\)、\(B(3, 4, 4)\) 兩點，球面 \(S\) 通過 \(A, B\) 兩點，其球心 \(O\) 在平面 \(5x - 2y + 5z = 3\) 上。若平面 \(E : x + y + z = 19\) 截此球面 \(S\) 所得之截圓面積為 \(F(S)\)，則 \(F(S)\) 的最小值為　　　。

二、計算證明題
1.
設數列 \(a_n = C^n_0 + C^n_1 + \cdots + C^n_n\)，其中 \(\displaystyle C^n_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)，則根據二項式定理可得 \(a_n\) 的一般項為 \(2^n\)。
(1) 令 \(b_n = 1 \cdot C^n_1 + \cdots + k \cdot C^n_k + \cdots + n \cdot C^n_n\)，試求 \(b_n\) 的一般項。
(2) 令 \(d_n = 1^2 \cdot C^n_1 + \cdots + k^2 \cdot C^n_k + \cdots + n^2 \cdot C^n_n\)，試求 \(d_n\) 的一般項。

2.
設 \(a\) 為整數且 \(x^{13} + x + 90\) 可分解為 \(x^2 - x + a\) 與一個整係數多項式的乘積，則 \(a\) 的值為何？

想請教一下7、8以及計算2，謝謝！

計算第 2 題
x^13 + x + 90 = (x^2 - x + a)Q(x)
x = 0 代入，a | 90
x = 1 代入，a | 92
a | 2
x = -1 代入，(a + 2) | 88
a = -1，2

當 a  = -1，x^2 - x + a = 0 有正根，但 x^13 + x + 90 = 0 無正根，不合

故 a = 2，驗證就除一下

[ 本帖最後由 thepiano 於 2026-3-29 11:13 編輯 ]

IMG_3540.jpeg (187.1 KB)

2026-3-29 11:40

引用:

原帖由 zj0209 於 2026-3-29 09:56 發表
想請教一下7、8以及計算2，謝謝！

謝謝thepiano、Yoga-Lin老師！

想請教第12題，謝謝!

第 12 題：

先求得 \(\overline{AB}\) 的垂直平分面為 \(x+z=5\)，

球心 \(O\) 位在 \(x+z=5\) 與 \(5x-2y+5z=3\) 的交線上，

令球心 \(O(t,11,5-t)\)，則

\(\displaystyle d(O,E) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\) 且

\(\displaystyle \overline{AO}^2 = \left(t-1\right)^2 + 7^2 + \left(t-3\right)^2 = 2t^2 - 8t + 59 = 2\left(t-2\right)^2 + 51 \geq 51\)

\(\Rightarrow\) 球半徑 \(\displaystyle \overline{AO} \geq \sqrt{51}\)

得截圓面積為 \(\displaystyle \pi\times\left(\overline{AO}^2 – d(O,E)^2\right) \geq 48 \pi\)。

當 \(t=2\) 時， 截圓面積有最小值為 \(48 \pi\)。

謝謝瑋岳老師!

填充 8.
以下 \( k \) 為非負整數，\( n \) 為正整數。

分子部分等比求和， \( n+n^{2}+\ldots+n^{n}=\frac{n^{n+1}-n}{n-1}=\frac{n}{n-1}(n^{n}-1) \).

分母部分除以 \( n^{n} \) 得一級數，令其為 \( T_{n} \)，即 \( T_{n}=\sum\limits _{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{n}=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n} \) 及 \( \frac{n+n^{2}+\ldots+n^{n}}{1^{n}+2^{n}+\ldots+n^{n}}=\frac{n}{n-1}\cdot\frac{n^{n}-1}{n^{n}}\cdot\frac{1}{T_{n}} \).

由算幾不等式得 \( \frac{1+n\cdot\left(1-\frac{k}{n}\right)}{n+1}\geq\sqrt[n+1]{\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}} \Rightarrow(1-\frac{k}{n+1})^{n+1}\geq\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n} \)，得 \( \left\langle \left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\right\rangle _{n=1}^{\infty} \) 為遞增數列。
另知此數列的極限為 \( e^{-k} \)，因此 \( \left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\le e^{-k} \).
（寫到這，夠寫填充題答案了，等比求和、取極限）

同理可得，當固定 \( k \) 值且 \( k<n \) 時，\( \left\langle \left(1+\frac{k}{n-k}\right)^{n-k}\right\rangle _{n=1}^{\infty} \)  也是遞增數列，並且收斂至 \( e^{k} \)，故 \( \left(1+\frac{k}{n-k}\right)^{n-k}\le e^{k} \)。
倒數後得 \( \left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-k}\ge e^{-k} \Rightarrow\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\ge e^{-k}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{k} \).

當 \( k<n \) 時，由伯努力不等式得 \( \left(1-\frac{k}{n}\right)^{k}\geq1-\frac{k^{2}}{n} \).

當 \( k\le\sqrt[3]{n} \) 時，\( \left(1-\frac{k}{n}\right)^{k}\geq1-\frac{k^{2}}{n}\geq1-\frac{1}{\sqrt[3]{n}} \).

令 \( m=\left[\sqrt[3]{n}\right] \)，當 \( n\geq2 \) 時，\( T_{n}=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\geq\sum\limits _{k=0}^{m}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\geq\sum\limits _{k=0}^{m}(1-\frac{1}{\sqrt[3]{n}})e^{-k}=(1-\frac{1}{\sqrt[3]{n}})\frac{1-\frac{1}{e^{m+1}}}{1-\frac{1}{e}} \).
（這個下界的逼近，其實用 \( \liminf \) 會寫得簡單很多）

另一方面，\( T_{n}=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}\le\sum\limits _{k=0}^{n-1}e^{-k}=\frac{1-\frac{1}{e^{n}}}{1-\frac{1}{e}} \).

\( {\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\left((1-\frac{1}{\sqrt[3]{n}})\frac{1-\frac{1}{e^{m+1}}}{1-\frac{1}{e}}\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{e}} \), \( {\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\left(\frac{1-\frac{1}{e^{n}}}{1-\frac{1}{e}}\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{e}} \)，由夾擠定理得 \( {\displaystyle \lim_{n\to\infty}}T_{n}=\frac{1}{1-\frac{1}{e}} \).

綜合以上，\( {\displaystyle \lim_{n\to\infty}}\frac{n+n^{2}+\ldots+n^{n}}{1^{n}+2^{n}+\ldots+n^{n}}={\displaystyle \lim_{n\to\infty}}(\frac{n}{n-1}\cdot\frac{n^{n}-1}{n^{n}}\cdot\frac{1}{T_{n}})=1\cdot1\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{e}}=1-\frac{1}{e} \).

式子寫太長了，如果有一些小錯誤，還請指正，或是可能有更好更簡單的下界的數列？