100全國高中聯招

題目請見附件

6.
設xy為實數，且滿足x2+xy+y2=6，若x2+y2的最大值為M，最小值為m，試求M+m=？
(A) 10　(B) 12　(C) 14　(D) 16

xyR，若x2+xy+y2=1，則x2+y2之最大值？x2+y2之最小值？
(高中數學101　P69)


7.
若n=1+22!+33!++5050!則n除以50的餘數為
(A) 13　(B) 23　(C) 29　(D) 49

試求1!1+2!2++90!90+91!91除以2002之餘數？
(200TRML個人賽)

2.
化簡cos76−cos75+cos74的值為？

cos7−cos72+cos73
(100松山工農，https://math.pro/db/thread-1137-1-1.html
IMO 1963，http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1963)

112.7.27補充
求sin72+sin74−sin7=　　　。
(112東石高中，https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html)

3.
設f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，試求f(x6)除以f(x)所得的餘式為？

設多項式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，則f(x12)除以f(x)所得到的餘式為何？
(94台南縣國中聯招，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1770)

2011.6.29補充
設f(x)=x2005+x2004++x+1，試求f(x2006)除以f(x)所得的餘式？
(94高中數學能力競賽　南區(高雄區)　筆試一試題，

104.5.2補充
設多項式f(x)=x2015+x2014++x+1，則試求f(x2016)除以f(x)所得的餘式為。
(104桃園高中，https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html)


4.
設f(x)=x3+2x2−3x−1，g(x)=x4+3x3−x2−5x+2，且α,βγ為f(x)=0之三根。試求g()g()g()之值？
(96師大附中，
98中崙高中，https://math.pro/db/thread-807-1-1.html)


8.
若43x2且f(x)=2−x+4x−3 ，則當x=？時f(x)有最大值為多少？

y=3−x+5x−4 求最大值和最小值？
(埔里高工，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=25127[/url]
97南一中，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47375[/url])

求函數f(x)=x−3+12−3x 的值域？
(98南港高工，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=420)

另外找一題三個根號的讓各位算看看
求函數y=x+27+13−x+x 的最大和最小值？
(2009大陸高中數學競賽)

104.4.12補充
設37x29，f(x)=3x−7+29−2x ，則f(x)最大值為。
(104台中女中，https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html)

請問填充9,
我知道是考柯西等式成立時之條件,但是仍算不出來,請老師們指點

請教版上先進

選擇
第8與9

綜合
第5與7

謝謝

選擇8  可以參考老王老師那邊的漂亮解法

選擇9
已知ABC中，C 為直角，BC上有一點D，使得CAD=2DAB ，若ACAD=54，則BDCD=
(A)2527　(B)95　(C)1719　(D)32
[解答]
利用tan 的和角公式就可以了
或者利用座標化搭配和角公式硬求
tanCAD=43=2tanBAD1−tan2BAD
可得tanBAD=31
又tanBAC=tan3BAD=1−3tan2BAD3tanBAD−tan3BAD
可知tanBAC=913=ACBC
這樣就可以得到結果

綜合7
為兩複數，滿足2−2+42=0，且−=23 ，若在複數平面上所代表的點為AB，而O是複數平面的原點，則OAB的面積為　　　。
[提示]
先去算 與的長度關係  與  夾角
然後利用 −=23可知道與的距離 
利用這兩點  可以得到   就可以算面積

想請教一下選擇第10題
總覺得算的出來，但卡住了~
麻煩幫忙解答，謝謝!

選擇10.
若=cos40+isin40其中i=−1 ，則+22+33++93−1=
(A)91sin40　(B)92sin20　(C)91cos40　(D)118cos20
[解答]
S=w+2w2+3w3++9w9
wS=      w2+2w3++8w9+9w10
相減
(1−w)S=w+w2+w3++w9−9w10
剩下取絕對值化簡就可以做出來了