98新港藝術高中

請問各位老師第１０題怎麼做
卡了很久
數

第１０題：
數值資料\(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n\)的算術平均數為\(\overline{X}\)，中位數為\(Me\)，標準差為\(S\)，令\(\displaystyle P=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |\;x_i-Me |\;\)、\(\displaystyle Q=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |\;x_i-\overline{X}|\;\)、\(\displaystyle R=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-Me)^2}\)，試比較\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)的大小。

先證幾件事情：


設 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) 為任意實數，

1. 若 \(f(x)=\left|x-a_1\right|+\left|x-a_2\right|+\cdots+\left|x-a_n\right|\)，則

　當 \(x\) 為 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) 的中位數時，\(f(x)\)  有最小值.

2. 若 \(g(x)=\left(x-a_1\right)^2+\left(x-a_2\right)^2+\cdots+\left(x-a_n\right)^2\)，則

　當 \(x\) 為 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) 的算數平均數時，\(g(x)\)  有最小值.

3. \(\displaystyle \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}}\geq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}.\)

證明提示：1. 三角不等式（即 \(|a|+|b|\geq|a+b|\)） 2. 配方法 3. 柯西不等式





如果證明出來上面這三者，

則

由 1. 可得 \(Q\geq P\)，

由 2. 可得 \(R\geq S\)，

由 3. 可得 \(S\geq Q\) 且 \(R\geq P.\)

如此即可得此四者的大小關係為 \(R\geq S\geq Q\geq P.\)

謝謝老師

當初學校公佈的是圖檔，我重新打字後將完整的題目放上來，並附上初試成績供考生參考

初試最低錄取分數46分
73,63,59,50,50,46

其他
40~45  7人
30~39 20人
20~29 31人
10~19 13人
0~9    5人
缺考  11人

共計93人

填充題
7.若\( \displaystyle x=cos \frac{2 \pi}{15}+i sin \frac{2 \pi}{15} \)，則滿足\( f(x)=0 \)的最少次多項方程式是
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43637　(連結已失效)

以\( \displaystyle \xi=cos \frac{2 \pi}{15}+i sin \frac{2 \pi}{15} \)表1的一個真正15次方根，\( f \)為一整係數非零多項式，且知\( f(\xi)=0 \)；試問滿足此條件且次數最低的\( f \)之次數為若干？
(94霧峰農工，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=22087　(連結已失效))



9.設z是複數，且\( \displaystyle \frac{z}{z-1} \)是純虛數(即虛部不為0而實部為0)，試求\( |\ z-i |\ \)的最大值
(99中二中，https://math.pro/db/thread-934-1-1.html)



10.以前的討論
h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=18271　(連結已失效)


計算題

1.三角形ABC，∠A的內角平分線\( \overline{AT} \)交\( \overline{BC} \)於T點，試證\( \overline{AT}=\sqrt{\overline{AB}\cdot \overline{AC}-\overline{BT}\cdot \overline{CT}} \)
https://math.pro/db/thread-884-1-1.html



3.求\( [\ (3+\sqrt{11})^{100} ]\ \)的個位數為多少？(編按：\( [\ X ]\ \)表高斯函數)

求\( [\ (2+\sqrt{6})^{100} ]\ \)的個位數。(編按：[ X]  表高斯符號)
(98清水高中，https://math.pro/db/thread-836-1-1.html)

\( ( \sqrt{23}+\sqrt{27} )^{100} \)除以100的餘數為？
台大資工甄選入學指定項目考試，https://math.pro/db/thread-915-1-1.html



4.\( a>b \)，試證：雙曲線\( b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2 \)互相垂直二切線的交點必在圓\( x^2+y^2=a^2-b^2 \)上。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=723

填充第2和9答案是否有錯,請大師確定一下,謝謝

填充第 2 題
三角形\(ABC\)中，\(D\)、\(E\)為\(\overline{AB}\)的三等分點，\(F\)平分\(\overline{BC}\)，\(\overline{AF}\)與\(\overline{CD}\)交於\(G\)點，求四邊形\(BDGF\)的面積是三角形\(ABC\)面積的幾分之幾？
[解答]
由孟式定理，可得 \(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}\cdot\frac{\overline{BC}}{\overline{CF}}\cdot\frac{\overline{FG}}{\overline{GA}}=1\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\overline{AG}}{\overline{GF}}=\frac{4}{1}\)

\(\triangle ADG : \triangle ABF = 2\times 4 : 3\times5=8:15\)

\(\Rightarrow \mbox{四邊形} BDGF:\triangle ADF=7:15\)

\(\Rightarrow \mbox{四邊形} BDGF:\triangle ABC=7:30\)

填充題第 9 題
設\(z\)是複數，且\(\displaystyle \frac{z}{z-1}\)是純虛數(即虛部不為0而實部為0)，試求\(|\;z-i|\;\)的最大值　　　。
[解答]
令 \(z=x+yi\) ，則

\(\displaystyle \frac{z}{z-1}=\frac{\left(x+yi\right)}{\left(x+yi\right)-1}=\frac{\left(x+yi\right)\left((x-1)-yi\right)}{\left(x-1\right)^2+y^2}=\frac{\left(x^2-x+y^2\right)-yi}{\left(x-1\right)^2+y^2}\)

因為 \(\displaystyle \frac{z}{z-1}\) 為純虛數，

所以 \(\displaystyle x^2-x+y^2=0\Rightarrow \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}\)　‧‧‧‧‧‧圓（但缺一點，因為 \(z\) 不為 \(0\)）

\(\displaystyle \left|z-i\right|=\sqrt{x^2+\left(y-1\right)^2}=(0,1)\mbox{到圓上的點的距離}\)

　　　　　　\(\displaystyle \leq (0,1)\mbox{到圓心的距離＋圓半徑}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.\)

想請教填充第15題,謝謝

正方形\(ABCD\)，\(\overline{BE}=2\overline{BC}\)，將\(ABEF\)沿\(EF\)線段往右折，使得\(D\)點落在\(AB\)線段上。求\(sin∠AFD=\)　　　。
[解答]
假設A',B'分別為A點,B點所折過去後的點
且EB'與CD點的交點為G,
令EC=1,則BE=2,DC=3
   EG=a,則CG=(a^2-1)^0.5,DG=3-(a^2-1)^0.5,GB=2-a
三角形A'FD~三角形B'DG~三角形CEG
所以CG:EG=BG: DG
(a^2-1)^0.5:a=2-a:3-(a^2-1)^0.5
得5a^2+4a-10=0,
解得a=(-2+3(6)^2)/5
在三角形EGC中
CG=(a^2-1)^0.5=(2(6)^0.5-3)/5
所求=Sin(角A'FD)=Sin(角CEG)
=CG/EG=(2(6)^0.5-3)/ (-2+3(6)^2)
=(6-(6)^0.5)/10