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標題: 110桃園高中 [打印本頁]
作者: lulu25    時間: 2021-5-1 21:50     標題: 110桃園高中

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想問13, 20
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附件: 110-1教甄初試試題卷(數學科).pdf (2021-5-1 21:50, 391.23 KB) / 該附件被下載次數 8213
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作者: bugmens    時間: 2021-5-1 21:56

2.
若數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{1+2a_{n-1}}\)，\(n\ge 2\)，\(n\in N\)，則\(a_n=\)　　　。(以\(n\)表示)
[提示]
\(\displaystyle \frac{1}{a_n}=\frac{1+2a_{n-1}}{a_{n-1}}=\frac{1}{a_{n-1}}+2\)

擷取部分內容https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1668&page=1#pid8732
1.什麼題目只要算循環節就好，什麼題目才要算出一般項？
2.不動點相同的話，我會算一般項嗎？
3.怎樣的分式遞迴數列是不能用這個方法的？
4.上面ichiban是從\( a_n \mapsto a_{n-1} \mapsto a_{n-2} \mapsto a_{n-4} \)，看出\( a_n=a_{n-4} \)數列4個一循環，但假如循環節若是質數你會遇到什麼問題？
5.歷屆試題考過哪些分式遞迴數列，你能不能整理出一份筆記？

回到這題若計算不動點\(\displaystyle x=\frac{x}{1+2x}\)，\(x+2x^2=x\)，\(x=0,0\)不動點相同而且是0，那要怎麼算

3.
\(\displaystyle S_n=\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}=\)　　　。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

求\( \displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2004}{2002!+2003!+2004!} \)的值。
(2004國際奧林匹克香港選拔賽)
[提示]
\( \displaystyle \frac{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}=\frac{k+2}{k!(1+k+1+(k+1)(k+2))}=\frac{k+2}{k!(k+2)^2}=\frac{1}{k!(k+2)}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{(k+2)-1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)

4.
設\(n\)為自然數，若\(\displaystyle C_0^n+\frac{1}{2}C_1^n+\frac{1}{3}C_2^n+\ldots+\frac{1}{n+1}C_n^n=\frac{4095}{n+1}\)，則\(n=\)　　　。

試求\(\displaystyle C_0^{21}+\frac{1}{2}C_1^{21}+\frac{1}{3}C_2^{21}+\frac{1}{4}C_3^{21}+\ldots+\frac{1}{22}C_{21}^{21}=\)　　　。
(100文華高中代理，weiye解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1200&page=2#pid4636)

7.
甲、乙、丙、丁、戊等 5 人，每人都會洗碗，也會做飯，但每餐飯，做飯者不洗碗，某假日午、晚兩餐，做飯者非同一人，洗碗者也非同一人，問有　　　種情形。
107新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-2993-1-1.html

9.
有一種被稱作『1A2B』的猜數字益智遊戲﹒規則如下：
首先出題者由\(0,1,2,\ldots,9\)當中任取相異四個數字由左到右排成一列（0可以在最前面），讓猜題者去猜這組數字。每次猜完數字後出題者會給猜題者提示，提示的口訣為『\(mAnB\)』﹐其中\(mA\)表示所猜的數字當中有\(m\)個不但猜中了而且數字是在正確的位置，\(nB\)表示所猜的數字當中有\(n\)個猜中了但是數字的位置不正確，例如題目為7132，若猜題者猜1234，則提示『\(1A2B\)』，假使猜題者善用提示﹐請問他在第1次猜到『\(1A3B\)』且在第2次猜到『\(4A0B\)』的機率是　　　。

有一種被稱作『\(mAnB\)』的猜數字益智遊戲﹒規則如下：
首先出題者由\(0,1,2,\ldots,9\)當中任取相異四個數字由左到右排成一列（0可以在最前面），讓猜題者去猜這組數字，每次猜完數字後出題者會給猜題者提示，提示的口訣為『\(mAnB\)』﹐其中\(mA\)表示所猜的數字當中有\(m\)個不但猜中了而且數字是在正確的位置，\(nB\)表示所猜的數字當中有\(n\)個猜中了但是數字的位置不正確，例如題目為7132，若猜題者猜1234，則提示『\(1A2B\)』。
(1)猜題者在第1次就猜到『\(1A3B\)』的機率是　　　。
(2)假使猜題者善用提示﹐請問他在第1次猜到『\(1A3B\)』且在第2次猜到『\(4A0B\)』的機率　　　。
(98國立大里高中段考試題，連結已失效h ttp://teacher.dali.tc.edu.tw/shchmath/download.php?f=usual/098-1/one/098-1-1-3a.doc)

10.
\(A\)柱中有\(n\)個大小不同的圓盤由大而小往上堆疊，若要從\(A\)柱全部搬移至\(B\)柱，每次只能搬動一圓盤，且每次都必須先經中間柱（不可由\(A\)直接放入\(B\)）且大盤不可放在小盤之上，設共要搬動\(a_n\)次﹐若\(a_{n+1}=pa_n+k\)，求數對\((p,k)=\)　　　。
(100育成高中代理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1204&page=1#pid5400)

12.
矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=6\sqrt{2}\)，以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\)，則鋪色區域面積為　　　。

矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=3\sqrt{2}\)，以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\)，則鋪色區域面積為　　　。
(107新竹女中代理，https://math.pro/db/thread-2993-1-1.html)

14.
\(n\in N\)，若\((1+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}\)，其中\(a_n,b_n\)為有理數，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\)　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1128&page=1#pid3470

18.
袋中有4紅球, 6白球今自袋中，每次取出一球，取出不放回，取完為止，則取球過程中，紅球個數不多於白球個數的機率為何？

袋中有4紅球，5白球，今自袋中每次取出一球，取出不放回，取完為止。取球過程中，紅球個數不多於白球個數之機率為　　　。
(97家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=792&page=2#pid14524)

19.
桃高實驗室針對800件血液樣本作檢驗，檢驗方式如下：隨機平分成100組，每組8件血液樣本，將同一組的樣本混合成一組樣本作一次檢驗。假設每一件血液樣本檢驗呈陽性機率都是0.2，且只要有一件血液樣本呈陽性反應，其混合的樣本也會呈陽性反應。當一組混合樣本檢驗結果呈陰性反應時，就不須再作細部檢驗，即該組只要一次檢驗即可。當檢驗結果呈陽性反應時，就必須重新將該組8件血液樣本逐一檢驗。依上述檢驗方式，此800件血液樣本檢驗次數的期望值為　　　。

針對900件血液樣本作檢驗，檢驗方式如下：隨機平分成100組，每組9件血液樣本，將同一組的樣本混合成一組樣本作一次檢驗。假設每一件血液樣本檢驗呈陽性的機率都是0.1，且只要有一件血液樣本呈陽性反應，其混合的樣本也會呈陽性反應。當一組混合樣本檢驗結果呈陰性反應時，就不須再作細部檢驗，即該組只要一次檢驗即可；而當檢驗結果呈陽性反應時，就必須重新將該組9件血液樣本逐一檢驗，此情況下總共需要10次的檢驗。依檢驗方式，此900件血液樣本檢驗次數之期望值為何？
(1)\(900(1-0.1)^9\)　(2)\(900(1-0.9^9)\)　(3)\(900(1-0.9^{10})\)　(4)\(1000(1-0.9^9)\)　(5)\(1000(1-0.9^{10})\)
(大學入學考試中心 學科能力測驗數學考科考試說明，https://www.ceec.edu.tw/files/fi ... AE%9A%E7%A8%BF).pdf)

20.
從\(z^{2020}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為　　　。
(109中壢高中代理，happysad解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3339&page=1#pid21461)

從\(z^{2014}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為　　　。
(106松山工農代理，https://math.pro/db/thread-2837-1-1.html)
(2014TRML個人賽，https://math.pro/db/thread-2028-1-1.html)
作者: Ellipse    時間: 2021-5-1 22:06

引用:
原帖由 lulu25 於 2021-5-1 21:50 發表
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想問13, 20
非常感謝
#13
已知\(z\ne 1\)，且\(z^7=1\)，求\(z+z^2+z^4=\)　　　。
[解答]
令w為x^7=1的一根
則w+w^2+w^3+w^4+w^5+w^6= -1
且(w+w^2+w^4)(w^3+w^5+w^6)=2
所以(w+w^2+w^4)及(w^3+w^5+w^6)為X^2+X+2=0的兩根
所求w+w^2+w^4= (-1+√ 7*i)/2或 (-1-√ 7*i)/2

\( \omega \)為\( z^7=1 \)之虛根，試求
甲、以\( \omega+\omega^2+\omega^4 \)，\( \omega^3+\omega^5+\omega^6 \)為兩根之二次方程式
乙、求\( \omega+\omega^2+\omega^4 \)之值
(99屏東女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=976&page=1#pid2649)

113.4.25補充
設虛數\(z\)滿足\(z^7=1\)，求\(z+z^2+z^4=\)？
(113彰化高中，https://math.pro/db/thread-3847-1-1.html)
作者: czk0622    時間: 2021-5-1 22:16     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

20
從\(z^{2020}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為　　　。
[解答]
設  \(\theta\) 為相鄰兩點最大容忍的圓心角
\(\displaystyle \cos\theta=\frac{1^2+1^2-\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2\times1^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
因此 \(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}\)
\(\displaystyle \frac{2\pi}{2020}x<\frac{\pi}{6}\) 得 \(x\leq168\)(相鄰兩點最多只能隔168個間隔)
因此任取兩點滿足條件的機率為 \(\displaystyle 1\times \frac{168\times2}{2020-1}=\frac{112}{673}\)
作者: matsunaga2034    時間: 2021-5-2 01:24     標題: 請教第9題

我的想法是 第一次 1A3B  機率是 C(4,4)*C(4,1)*2/P(10,4)  其中 C(4,1)*2 為 某個位置對 另外三個皆不對的可能性
                   第二次 4A  則是 1/4!
但算出來跟答案不太一樣 可以請教一下哪邊有疏漏嗎??
作者: thepiano    時間: 2021-5-2 06:08     標題: 回復 5# matsunaga2034 的帖子

1 A 3 B 後，知道有一個位置對了，不可能把 4 個數字都大風吹了

先任猜一個位置是對的，剩下三個位置有 2 種猜法
從 1 A 3 B 到 4 A 的機率是 1 / (4 * 2)
作者: matsunaga2034    時間: 2021-5-2 18:53     標題: 回復 6# thepiano 的帖子

原來如此  感謝~
作者: math1    時間: 2021-5-3 11:24     標題: 15

請問15題怎麼算？
作者: thepiano    時間: 2021-5-3 11:43     標題: 回復 8# math1 的帖子

第 15 題
\(n\in N\)，已知\(a_1=1\)，且\(\displaystyle \frac{1}{n+1}<x\le \frac{1}{n}\)時，\(f(x)=a_n x^n\)，若\(f(x)\)在區間\((0,1]\)為連續，則\(a_n=\)　　　。
[解答]
1/2 < x <= 1，f(x) = (a_1)x
1/3 < x <= 1/2，f(x) = (a_2)x^2
1/4 < x <= 1/3，f(x) = (a_3)x^3
:
:
由於 f(x) 在 (0，1] 連續
(a_1)(1/2) = (a_2)(1/2)^2
a_2 = 2a_1

(a_2)(1/3)^2 = (a_3)(1/3)^2
a_3 = 3a_2

a_1 = 1，a_n = n!
作者: Superconan    時間: 2021-5-3 21:12     標題: 回復 8# math1 的帖子

同「106臺中一中」第10題
作者: jeanvictor    時間: 2021-5-25 11:26     標題: 12,16

請教12,16題，感恩~
作者: satsuki931000    時間: 2021-5-25 13:05     標題: 回復 11# jeanvictor 的帖子

16.
已知三次函數\(y=f(x)\)的廣域特徵圖形近似\(y=-2x^3\)，在\(x=-2\)附近的一次近似為\(y=-2x-1\)，且\(y=f(x)\)圖形的對稱中心為\((-2,k)\)，試求\(f(1.99)=\)　　　。
[解答]
\(f(x)=-2(x+2)^3-2(x+2)+3\)
所求\(f(1.99)=-2(3.99)^3-2(3.99)+3=-132.022398\)
作者: thepiano    時間: 2021-5-25 21:59     標題: 回復 11# jeanvictor 的帖子

第 12 題
矩形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=2\sqrt{6}\)，\(\overline{BC}=6\sqrt{2}\)，以\(\overline{AB}\)、\(\overline{AD}\)為直徑作半圓交於\(P\)，則鋪色區域面積為　　　。
[解答]
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=9438#p9438
作者: jeanvictor    時間: 2021-5-27 07:18     標題: 回復 13# thepiano 的帖子

謝謝satsuki、thepiano老師~
作者: jeanvictor    時間: 2021-5-27 08:17     標題: 20題另解

從\(z^{2020}=1\)的所有複數根中，任選相異兩根\(z_1,z_2\)，則\(\displaystyle |\;z_1-z_2|\;<\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)的機率為　　　。

不確定這樣是否可行，請各位老師指教，謝謝


圖片附件: 110桃園高中#20.jpg (2021-5-27 08:17, 59.52 KB) / 該附件被下載次數 2364
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作者: anyway13    時間: 2021-5-29 14:58     標題: 請教第10題

板上老師好

請問一下a(2)=3,a(3)=2...知a(n)=2^n-1

帶入 a(n+1)=pa(n)+k  得2^(n+1)-1=p(2^n-1)+k  再利用a(2)=3,a(3)=7

n=1時,a(2)=pa(1)+k,    3=p+k......(1)
n=2時,a(3)=pa(2)+k,   7=3p+k......(2)

p=2,k=1     想問哪裡做錯了   ?
作者: PDEMAN    時間: 2021-5-29 15:37     標題: 回復 16# anyway13 的帖子

a_2=8,a_3=26，題目好像看錯了！每一個移動要經過c，是不是沒經過！
作者: anyway13    時間: 2021-5-29 15:44     標題: 回復17# PDEMAN的帖子

感謝PDEMAN老師回復  想再請問一下

這和下面連結的河內塔,不是同一種嗎?

http://www.mathland.idv.tw/life/hanoirecursion.htm
作者: anyway13    時間: 2021-5-29 15:47     標題: 回復 17# PDEMAN 的帖子

PDEMAN老師好  這兩種的確有些許差異  

只是想請問一下  a2=8,a3=26在考場的時候 要怎麼樣才能迅速知道呢?

(a2=8,a3=26 小弟是用笨方法一個一個排出來才知道)
作者: PDEMAN    時間: 2021-5-29 16:11     標題: 回復 19# anyway13 的帖子

你可參考2樓bugmens 老師的連結
你貼的，每步沒有每一個柱子都經過！
作者: anyway13    時間: 2021-5-29 17:31     標題: 回復 20# PDEMAN 的帖子

好的  謝謝PDEMAN老師
作者: tuhunger    時間: 2021-7-8 22:47     標題: 手寫詳解

如圖片

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