第8題，拼湊一個構想拋磚引玉。

設 a, b, c 為異於 1 之正數，且 loga 10 + logb 10 + logc 10 = logabc 10，試求 (abc)⁴ - (abc)² * (a² + b² + c²) + a²b² + b²c² + c²a² 的值。

想法: 觀察條件式，"10" 並不具特殊性 -- 它可被任意非 1 正數取代。或者，觀察到只要 a, b, c 任二者呈倒數關係，即可滿足條件式。由此發現聯想到用 a, b, c 之一 (而非 10) 作為對數的底。

解:

loga 10 +  logb 10 + logc 10 = logabc 10

⇒ loga a +  logb a + logc a = logabc a   (亦可逕換底為 a)

⇒ 1 + (1 / loga b) + (1 / loga c) = 1 / (1 + loga b + loga c)

⇒ 1 + 1/s + 1/ t = 1/(1+s+t)   (令 loga b = s，loga c = t)

⇒ (s+t) / st = - (s+t) / (1+s+t)

⇒ (s+t)*(s +1)*(t +1) = 0

⇒ s = -t ∨ s = -1∨ t = -1

⇒ bc = 1 ∨ ab = 1 ∨ ac = 1

若 bc = 1，所求 = a⁴ - a² * (a² + b² + c²) + a² * (b² + c²) +1 = 1

(基於對稱性，其餘情形亦同。)

第 2 題，分享一個另解。

設 x, y, z 為正實數，試證明: x / (3x+y+z)  + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ 3/5。

想法: 這種分式型的題目，有時可利用 "排序不等式" 解。(105松山高中計算證明題 4 亦同，請參考 https://math.pro/db/thread-2482-1-1.html)。

解:

左式顯然為二數列之逆序和。或者說:

不妨設 x ≥ y ≥ z

則 1/(3x+y+z) ≤ 1/(x+3y+z) ≤ 1/(x+y+3z)

由排序不等式，有:

x / (3x+y+z) + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ x / (3x+y+z) + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ... (1)

x / (3x+y+z) + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ y / (3x+y+z) + z / (x+3y+z) + x / (x+y+3z) ... (2)

x / (3x+y+z) + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ z / (3x+y+z) + x / (x+3y+z) + y / (x+y+3z) ... (3)


(1)*3 + (2) + (3)

⇒ 5*(左式) ≤ 3，故 (左式) ≤ 3/5，得證。

引用:

原帖由 Ellipse 於 2016-6-17 10:31 PM 發表

這題也可以用"琴生不等式"
你們可以想想看

謝謝 Ellipse 老師的提示，嘗試一做:


設 x, y, z 為正實數，試證明: x / (3x+y+z)  + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ 3/5。


證明:

因左式為零次齊次函數, 不妨設 x+y+z = 1，原題即證: x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5。

考慮函數 f(t) = t / (2t+1)，當 t > 0，其為凹口向下 (concave) 函數。  [ 因當 t > 0，g(t) = 1 / (2t+1) 凹口向上; 或因 f''(t) > 0 ]

由 Jensen 不等式:

[ f(x) + f(y) + f(z) ] / 3 ≤ f((x+y+z)/3) = f(1/3)

⇒ x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5，得證。

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上文提到的 "不妨設 x+y+z = 1"，也可以使利用柯西不等式的證明看起來精簡些，如下:

設 x+y+z = 1，原題即證: x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5

由柯西不等式:

[ (2x+1) + (2y+1) + (2z+1) ] * [ 1/(2x+1) + 1/(2y+1) + 1/(2z+1) ] ≥ 9

⇒ 1/(2x+1)  + 1/(2y+1) + 1/(2z+1) ≥ 9/5

⇒ 1 - [ 2x/(2x+1) ] + 1 - [ 2y/(2y+1) ] + 1 - [ 2z/(2z+1) ] ≥ 9/5

⇒ x / (2x+1) + y / (2y+1) + z / (2z+1) ≤ 3/5，得證。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-19 02:11 PM 編輯 ]

第 2 題，參考 thepiano 老師之前的帖 (https://math.pro/db/thread-2436-2-3.html)，亦可採用算幾不等式。

(聯想: 算幾⇔柯西 ; 排序⇒算幾&柯西 ; 琴生⇒算幾&柯西 → 公告解答用柯西證明，暗示了用算幾，排序，及琴生不等式的可行性)。

設 x, y, z 為正實數，試證明: x / (3x+y+z)  + y / (x+3y+z) + z / (x+y+3z) ≤ 3/5。

證明:

令 3x+y+z = a，x+3y+z = b，x+y+3z = c ⇒ x = (4a-b-c)/10，y = (-a+4b-c)/10，z = (-a-b+4c)/10

原題即證:  

(4a-b-c)/a + (-a+4b-c)/b + (-a-b+4c)/c ≤ 6

⇔ 6 ≤ [(b/a) + (a/b)] + [(c/b) + (b/c)] + [(c/a) + (a/c)]

由算幾不等式，右式 ≥ 2+2+2 = 6，得證。

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再來一個: 切線法 (利用切線的放縮法)

觀察原式，當 (x, y, z) = (1, 1, 1) 時可取等號 ⇒ 取函數 f(x) = 3x/25 + 2/25

先證: 當 x > 0，

x / (2x+3) ≤ 3x/25 + 2/25 ... (*)

⇔ 25x ≤ 6x² + 13x + 6

⇔ 0 ≤ (x - 1)²，成立。


回到題目式，不妨設 x+y+z = 3   [ 因上文是依據 (x, y, z) = (1, 1, 1) 分析 ]

原題即證:

x / (2x+3)  + y / (2y+3) + z / (2z+3) ≤ 3/5

由 (*) 式， 有:

x / (2x+3) ≤  3x/25 + 2/25 ... (1)

y / (2y+3) ≤  3y/25 + 2/25 ... (2)

z / (2z+3) ≤  3z/25 + 2/25 ... (3)

(1)+(2)+(3)

x / (2x+3)  + y / (2y+3) + z / (2z+3) ≤ 3/5，得證。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-6-18 08:47 AM 編輯 ]