接力賽R1-A.
已知\(a,b,c\)均為非負整數，試求下列算式的最小值\(A\)。
\( \displaystyle \frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} \)
[提示]
令\( b + 3c = x\)，\(8c + 4a = y\)，\(3a + 2b = z\)
分別把\( a、b、c \)用\( x、y、z \)表示
化簡後用算幾

分子的部分該如何處理呢??
最後一行的式子覺得應該不是這樣寫
還有什麼地方要修正嗎@@?

[ 本帖最後由 leo790124 於 2016-3-28 04:16 PM 編輯 ]

\(\begin{align}
  & \frac{a}{b+3c}+\frac{b}{8c+4a}+\frac{9c}{3a+2b} \\
& =\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{9c}{z} \\
& =\frac{-8x+3y+4z}{24x}+\frac{8x-3y+4z}{16y}+\frac{9\times \left( 8x+3y-4z \right)}{48z} \\
& =-\frac{1}{3}+\frac{y}{8x}+\frac{z}{6x}+\frac{x}{2y}-\frac{3}{16}+\frac{z}{4y}+\frac{3x}{2z}+\frac{9y}{16z}-\frac{3}{4} \\
& =\left( \frac{y}{8x}+\frac{x}{2y} \right)+\left( \frac{z}{4y}+\frac{9y}{16z} \right)+\left( \frac{z}{6x}+\frac{3x}{2z} \right)-\frac{61}{48} \\
& \ge \frac{1}{2}+\frac{3}{4}+1-\frac{61}{48} \\
& =\frac{47}{48} \\
\end{align}\)

頗巧妙...

第 1 題
純幾何的解法

謝謝！

團體賽T-6

已知多項式 f(x) 的各項係數均為不大於 3 的非負整數，且滿足 f(2) = 2016。像這樣的多項式一共有若干個？


由 thepiano 老師提示，許介彥教授的大作中，是以 "生成函數" 的方法，得出: 滿足 f(2) = n 的多項式一共有 [n/2] +1 個。("[ ]" 為高斯符號)

由於答案形式簡單，故嘗試構思一個過程簡明的方法，如下。 ( 在此考慮  f(2) = n 的條件 )


解: 令 f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴+... 為符合條件的多項式，即:

n = a₀ + a₁2 + a₂2² + a₃2³ + a₄2⁴+... ， {a₀, a₁, a₂...}∈{0,1,2,3}

由係數的限制，聯想到 4 進位表示法，故將上式改寫為:

n = (a₀ + a₂2²  + a₄2⁴+...) + 2*(a₁+ a₃2² + a₅2⁴+...)
= (a₀ + a₂4¹  + a₄4² +...) + 2*(a₁+ a₃4¹ + a₅4² +...)   [ "( )" 內均為 4 進位的架構 ]

上式可視為將 n 表示為 P + 2Q，即一個序組{a₀, a₁, a₂...}對應一個 "將 n 表示為一非負整數與一非負偶數之和" 的方法 (一對一對應)。

反之，依上式將 n 表示為一非負整數與一非負偶數之和時，亦因任一非負整數恰有一個符合上式形式的 4 進位表示法，

故亦對應一個序組 {a₀, a₁, a₂...} (一對一對應)。


綜上，所求多項式的個數 = "將 n 表示為一非負整數與一非負偶數之和" 的方法數 {如: n+0, (n-2)+2, (n-4)+4...} =  [n/2] +1  ("[ ]" 為高斯符號)


原題答案為 [2016/2]+1 = 1009。

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本題若用遞迴關係來切入，可得

A(n+1) = A(n)+1 (當 n 為奇數) 或 A(n+1) = A(n) (當 n 為偶數) [A(k)表示滿足 f(2) = k 的多項式個數]，進而得出上述結論，過程亦不複雜。





[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-2-22 13:23 編輯 ]

可否請教 團體賽的 T2 和 T7
麻煩各位先進指教!!