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104楊梅高中

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回復 3# jackyxul4 的帖子

第 1 題
n 是正整數嗎?
若是的話,小弟是算\(n=10\)

第 2 題
出自 TRML 2001

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回復 8# leo790124 的帖子

第1題
\( a,b,c \)為三正數,且滿足\( abc(b+c)=5 \),則\( ab+bc+ca \)之最小值。

\(\begin{align}
  & ab+bc+ca \\
& =a\left( b+c \right)+bc \\
& =\frac{5}{bc}+bc \\
& \ge 2\sqrt{5} \\
\end{align}\)

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回復 13# peter0210 的帖子

您式子中的\( \displaystyle t=\frac{1+a}{1-a}\),應是\(\displaystyle t=\frac{1-a}{1+a}\)
不過小弟覺得這題的\(\sin \theta \)應該也可以是\(\displaystyle -\frac{\sqrt{5}}{3}\)才對啊?

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回復 15# wrty2451 的帖子

第 12 題
已知\( \Delta ABC \)中,\( ∠BAC=40^{\circ} \),\( \overline{AB}=8 \),\( \overline{AC}=6 \),若\( D,E \)分別在\( \overline{AB} \)及\( \overline{AC} \)上則\( \overline{BE}+\overline{DE}+\overline{CD} \)最小可能的值為   

作 B 關於 AC 的對應點 B'
作 C 關於 AB 的對應點 C'
所求為 B'C',連 AB' 和 AC',再用餘弦定理

第16題
求\( \displaystyle y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} \)和\( y=\sqrt{2x^2-1} \)所圍成的區域繞\( x \)軸旋轉的旋轉體體積為   

\(\left( \int_{1}^{5}{{{\left( \sqrt{2{{x}^{2}}-1} \right)}^{2}}dx-\int_{1}^{5}{{{\left( \frac{3}{2}x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}dx}} \right)\pi \)

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回復 17# 陳盈諭 的帖子

兩股長a、b,斜邊長c
\(\begin{align}
  & {{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab \\
& c\ge \sqrt{2}\sqrt{ab} \\
\end{align}\)

由算幾\(a+b\ge 2\sqrt{ab}\)

\(\begin{align}
  & a+b+c\ge \left( 2+\sqrt{2} \right)\sqrt{ab} \\
& \sqrt{ab}\le \frac{10}{2+\sqrt{2}} \\
& \frac{ab}{2}\le 25\left( 3-2\sqrt{2} \right) \\
\end{align}\)
以上等號都成立於\(a=b\)

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回復 19# 陳盈諭 的帖子

\(\begin{align}
  & \theta =-\frac{\pi }{4} \\
& \frac{\sin \theta -\left( 1-\cos \theta  \right)}{\sin \theta +\left( 1-\cos \theta  \right)}=\sqrt{2}+1>1 \\
\end{align}\)

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回復 22# martinofncku 的帖子

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回復 23# exin0955 的帖子

第 12 題
已知\(\Delta ABC\)中,\(\angle BAC=40^{\circ}\),\(\overline{AB}=8\),\(\overline{AC}=6\),若\(D,E\)分別在\(\overline{AB}\)及\(\overline{AC}\)上則\(\overline{BE}+\overline{DE}+\overline{CD}\)最小可能的值為   
[解答]
AB' = AB = 8
AC' = AC = 6
∠C'AB' = 3∠BAC = 120 度
對 △AB'C' 用餘弦定理即可求出 B'C' = 2√37

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回復 23# exin0955 的帖子

第3題
設\(<a_n>\)為一數列,其中\(a_1=1\)當\(n>1\),\(a_{2n}=2a_n-1\),\(a_{2n+1}=2a_n+1\),則\(a_{2^{2015}+1}=\)   
[解答]
\(\begin{align}
  & {{a}_{{{2}^{2015}}+1}} \\
& =2{{a}_{{{2}^{2014}}}}+1 \\
& =2\left( 2{{a}_{{{2}^{2013}}}}-1 \right)+1 \\
& ={{2}^{2}}{{a}_{{{2}^{2013}}}}-2+1 \\
& ={{2}^{3}}{{a}_{{{2}^{2012}}}}-{{2}^{2}}-2+1 \\
& ={{2}^{2015}}{{a}_{1}}-{{2}^{2014}}-{{2}^{2013}}-\cdots \cdots -{{2}^{2}}-2+1 \\
& =3 \\
\end{align}\)

第4題
TRML 2001 個人賽第 2 題

第13題
高中數學競賽教程 P235

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回復 27# acc10033 的帖子

第 2 題
已知一球面上有四點\(A,B,C,D\)且\(\overline{AB},\overline{AC},\overline{AD}\)兩兩垂直,\(\overline{AB}=3,\overline{AC}=4,\overline{AD}=5\),則此球體的體積   
[解答]
考慮球內接長方體
AB,AC,AD 分別是此長方體的長、寬、高
球直徑 = 長方體對角線長

球面上有四點\(P,A,B,C\),且\(\overline{PA},\overline{PB},\overline{PC}\)兩兩垂直,\(\overline{PA}=2,\overline{PB}=3,\overline{PC}=6\),求此球體的體積。
(97國立大里高中,https://math.pro/db/thread-2402-1-1.html)


111.1.27新增圖片

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球面上4點連成3個線段兩兩垂直.gif (25.58 KB)

2022-1-27 21:13

球面上4點連成3個線段兩兩垂直.gif

球面上4點連成3個線段兩兩垂直SketchUp檔.zip (49.44 KB)

2022-1-27 21:13, 下載次數: 585

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