第 9 題
不分勝負的情形，計以下141種
(1) 六和：1種
(2) 四和：\(C_{4}^{6}\times C_{1}^{2}=30\)種
(3) 二和：\(C_{2}^{6}\times C_{2}^{4}=90\)種
(4) 零和：\(C_{3}^{6}=20\)種

所求\(=\frac{1}{2}\times \frac{{{3}^{6}}-141}{{{3}^{6}}}=\frac{98}{243}\)

第12題
\(\left[ \frac{{{k}^{4}}}{{{k}^{2}}-1} \right]=\left[ {{k}^{2}}+1+\frac{1}{{{k}^{2}}-1} \right]={{k}^{2}}+1\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-25 05:41 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 smartdan 於 2014-7-25 01:52 PM 發表
應該可以說是本年度最後一份正式教師的試卷了！

還有 7/28 育成高中一個缺和 8/9 新化高中二個缺

去年有 134 個缺，今年至今有 124 缺
明年恐怕沒這麼多了，大家加油！

第 4 題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1273

第15題
請參考附件

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-26 09:00 AM 編輯 ]

直接算也可以
\(\frac{1}{6}+\frac{3}{6}\times \frac{1}{6}+{{\left( \frac{3}{6} \right)}^{2}}\times \frac{1}{6}+{{\left( \frac{3}{6} \right)}^{3}}\times \frac{1}{6}+{{\left( \frac{3}{6} \right)}^{4}}\times \frac{1}{6}+{{\left( \frac{3}{6} \right)}^{5}}\times \frac{1}{6}=\frac{21}{64}\)

去年金門高中考過這題，而且沒有說它是拋物線

設\({{A}_{n}}\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)\)
則
\(\begin{align}
  & {{x}_{n}}=\frac{n\left[ 10+10+\left( n-1 \right)\times 20 \right]}{2}-\frac{10+\left( n-1 \right)\times 20}{2}=10{{n}^{2}}-10n+5=\frac{5}{2}{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}+\frac{5}{2} \\
& {{y}_{n}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \left[ 10+20\left( n-1 \right) \right]=5\sqrt{3}\left( 2n-1 \right) \\
& {{y}_{n}}^{2}=75{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}=30\left[ \frac{5}{2}{{\left( 2n-1 \right)}^{2}}+\frac{5}{2} \right]-75 \\
& {{y}_{n}}^{2}=30{{x}_{n}}-75 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-29 08:50 PM 編輯 ]