填充第 11 題：

\(\displaystyle \vec{AB}-\vec{PA}=\frac{4}{3}\vec{AC}\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left(\vec{PB}-\vec{PA}\right)-\vec{PA}=\frac{4}{3}\left(\vec{PC}-\vec{PA}\right)\)

\(\Rightarrow 2\vec{PA}-3\vec{PB}+4\vec{PC}=\vec{0}\)

可知 \(P\) 在 \(\triangle ABC\) 外部， \(B,P\) 分別在直線 \(\overleftrightarrow{AC}\) 的兩側，

且 \(\triangle PBC\mbox{面積}:\triangle PAC\mbox{面積}:\triangle PAB\mbox{面積}=2:3:4\)

因為 \(\triangle PBC\mbox{面積}=8\) ，所以 \(\triangle PAC\mbox{面積}=12, \triangle PAB\mbox{面積}=16\)

\(\triangle ABC\mbox{面積}=\triangle PBC\mbox{面積}+\triangle PAB\mbox{面積}-\triangle PAC\mbox{面積}=8+16-12=12.\)

填充第 15 題：

令 \(A(7,1), B(19,6)\) ，則 \(\overline{AB}=13\)

令 \(A\) 到準線 \(y=k\) 的距離為 \(r_1=\left|1-k\right|\)

　 \(B\) 到準線 \(y=k\) 的距離為 \(r_2=\left|6-k\right|\)

因為 \(y=k\) 為拋物線的準線且 \(A,B\) 為拋物線上的點

可知 \(A,B\) 在 \(y=k\) 直線的同側，即 \(1-k\) 與 \(6-k\) 同正負號。

當 \(r_1+r_2\geq \overline{AB}\) 時，則可得拋物線的焦點坐標，反之亦然。

case i: \(1-k>0\) 且 \(6-k>0\) ，則 \(\left(1-k\right)+\left(6-k\right)\geq 13\Rightarrow k\leq -3\)

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2013-7-21 15:42

case ii: \(1-k<0\) 且 \(6-k<0\) ，則 \(\left(k-1\right)+\left(k-6\right)\geq 13\Rightarrow k\geq 10\)

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故，\(k\leq-3\) 或 \(k\geq10\) 時，若且唯若通過 \(A,B\) 且準線為 \(y=k\) 的拋物線會存在。

令 \(\vec{PA'}=2\vec{PA}, \vec{PB'}=-3\vec{PB}, \vec{PC'}=4\vec{PC}\)

則 \(\vec{PA'}+\vec{PB'}+\vec{PC'}=\vec{0}\)

可知 \(P\) 是 \(\triangle A'B'C'\) 的重心，

\(\triangle PB'C'\mbox{面積}=\triangle PA'C'\mbox{面積}=\triangle PA'B'\mbox{面積}\)

\(\Rightarrow \left|-3\right|\cdot4\triangle PBC\mbox{面積}=2\cdot4\triangle PAC\mbox{面積}=2\cdot\left|-3\right|\triangle PAC\mbox{面積}\)

\(\Rightarrow \triangle PBC\mbox{面積}: \triangle PAC\mbox{面積}:\triangle PAB\mbox{面積}=2:\left|-3\right|:4\)

填充第 1 題：

\(\displaystyle x^2+2x\log5+\log\frac{5}{2}=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^2+2x\log5+\log\frac{25}{10}=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^2+2x\log5+\left(2\log5-1\right)=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(x+2\log5-1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow x=1-2\log5\) 或 \(x=-1\)

\(\displaystyle \Rightarrow x=\log\frac{10}{5^2}=\log\frac{2}{5}\) 或 \(\displaystyle x=\log\frac{1}{10}\)

\(\displaystyle \Rightarrow 10^\alpha+10^\beta=10^{\log2/5}+10^{\log1/10}=\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}.\)

填充題第 12 題：

由正弦定理，求得 \(\overline{AC}=2\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right), \overline{BC}=4\sqrt{3}\)，\(\triangle ABC\) 的外接圓半徑 \(R=4\)

利用 \(\overline{OH}^2=9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

　　　（證明我放在 https://math.pro/db/thread-36-1-1.html ）

可得 \(\overline{OH}^2=9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

　　　\(=9\times16-\left[\left(4\sqrt{2}\right)^2+\left(4\sqrt{3}\right)^2+\left(2\sqrt{6}+2\sqrt{2}\right)^2\right]\)

　　　\(=32-16\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \left|\vec{OH}\right|=2\sqrt{8-4\sqrt{3}}=2\sqrt{8-2\sqrt{12}}=2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\)