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例題:平面向量─尤拉線

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例題:平面向量─尤拉線









補充:設 \(\triangle ABC\) 三邊長分別為 \(a,b,c\),且外接圓半徑為 \(R\),求證:\(\overline{HK}^2=9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

證明:

承前述證明知 \(2\vec{GK}=-\vec{GH}\)

\(\displaystyle \Rightarrow\vec{KH}=3\vec{KG}\)

因此 \(\vec{KH}=\vec{KA}+\vec{KB}+\vec{KC}\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left|\vec{KH}\right|^2=\left|\vec{KA}\right|^2+\left|\vec{KB}\right|^2+\left|\vec{KA}\right|^2+2\vec{KA}\cdot\vec{KB}+2\vec{KB}\cdot\vec{KC}+2\vec{KC}\cdot\vec{KA}\)

   \(\displaystyle =R^2+R^2+R^2+2\cdot R\cdot R\cdot \frac{R^2+R^2-c^2}{2\cdot R\cdot R}+2\cdot R\cdot R\cdot \frac{R^2+R^2-a^2}{2\cdot R\cdot R}+2\cdot R\cdot R\cdot \frac{R^2+R^2-b^2}{2\cdot R\cdot R}\)

   \(\displaystyle =9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)


類題:102 北門高中,填充第 12 題 ( https://math.pro/db/thread-1711-1-1.html

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