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102北市陽明高中

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102北市陽明高中

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2013-5-24 16:59, 下載次數: 4593

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1.(2)
若點D、E、F依序為△ABC三邊\( \overline{BC} \)、\( \overline{AC} \)、\( \overline{AB} \)三邊的垂足,求證:△ABC的垂心等於△DEF的內心
(97松山家商,http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554#9)

2.
ABCD為圓內接四邊形,四邊邊長依序為a、b、c、d,請證明ABCD的面積為
\( \displaystyle S(a,b,c,d)=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)} \)
(蔡聰明,四邊形的面積,數學傳播,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434)


一圓柱體高20、底面圓半徑6,若有一平面通過底面圓心且和底面夾角\( 60^\circ \),試求較小部分的體積為?
(101中和高中,https://math.pro/db/thread-1378-1-4.html)

空間中,\( x^2+y^2=3^2 \),\( z=0 \)及\( x-z=0 \)所圍成封閉區域的體積為何?
(101彰化高中,thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&t=2816#p7604)
你可以先看這題thepiano的解法,再來看以下的說明會更容易了解。

103.5.31補充
已知一圓柱體的半徑為6,有一平面E與圓柱夾\( 30^{\circ} \)且通過圓柱直徑,試求平面E與圓柱所截兩塊體積中較小的體積
(103武陵高中,https://math.pro/db/thread-1902-1-1.html)

7.
有一半徑為\( 2 \sqrt{2} \),高為\( 2\sqrt{3} \)的圓柱體被一平面所截。已知平面截過圓柱體底面的圓心且與底面夾\( 60^\circ \)角,試求:此圓柱體被平面所截之較小部份的體積。
[解答]
1.當\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \)時,\( \Delta ABC \)為最大的直角三角形,之後就是梯形了。

\( \Delta ABC \)為直角三角形,\( ∠ACB=60^\circ \),\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \),得到\( \overline{BC}=2 \)
又\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \),\( ∠OCB=90^\circ \),得到\( \overline{OC}=2 \)。
所以當\( 2 \le x \le 2 \sqrt{2} \),\( -2 \sqrt{2} \le x \le -2 \)時,截面形狀為直角三角形。
  當\( -2 \le x \le +2 \)時,截面形狀為梯形。


2.當\( 2\le x \le 2 \sqrt{2} \),\( -2 \sqrt{2} \le x \le -2 \)時
截面形狀為直角三角形ABC

\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \),\( \overline{OC}=x \)得到\( \overline{BC}=\sqrt{8-x^2} \)
又\( \Delta ABC \)為直角三角形,\( ∠ACB=60^\circ \),得到\( \overline{AB}=\sqrt{3}\sqrt{8-x^2} \)
\( \Delta ABC \)的面積\( \displaystyle =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8-x^2} \cdot \sqrt{3} \sqrt{8-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2) \)
體積\( \displaystyle =2 \int_2^{2 \sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2)dx=\frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3} \)


3.當\( -2 \le x \le +2 \)時,截面形狀為梯形ABCD

\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \),\( \overline{OC}=x \)得到\( \overline{BC}=\sqrt{8-x^2} \)
又\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \),\( ∠DCB=60^\circ \),得到\( \overline{BC}=2+\overline{AD} \),\( \overline{AD}=\sqrt{8-x^2}-2 \)。
梯形面積\( \displaystyle =\frac{\overline{AB}}{2}(\overline{AD}+\overline{BC})=2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1) \)
體積\( \displaystyle =2 \int_0^2 2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1)dx=4 \sqrt{3} \pi \)



\( \displaystyle \int_0^2 (\sqrt{8-x^2}-1) dx \)可以轉換成橘色區域面積
面積=扇形OAB+直角三角形OAC-長方形=\( \pi \)

總共的體積為\( \displaystyle \frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3}+4 \sqrt{3} \pi \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-31 04:51 AM 編輯 ]

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2013-5-25 13:32

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2013-5-25 13:32, 下載次數: 3805

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請問各位老師,有第五題的答案嗎?

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回復 3# panda.xiong 的帖子

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\times \frac{(n+k)^3+(n-k)^3}{(2n)^3}\)
\(\displaystyle =\int_0^1 (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x)^3+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x)^3 dx\)
\(\displaystyle \left[ (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x)^4 \cdot \frac{1}{4}\cdot 2+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x)^4\cdot \frac{1}{4} \cdot (-2) \right]\Bigg\vert\;_0^1 \)
\(\displaystyle =\left[(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})^4-(\frac{1}{2})^4 \right]\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^4\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\)
請參考指教

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回復 4# ichiban 的帖子

感謝老師,用積分真是太漂亮啦。
可是題目上說,除了3次皆為同色球"外"皆可獲獎,所以獲獎機率是不是應該要用1去減3次皆同色的機率呢?
答案應該還是1/2吧

另外,我想請問第6題...

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回復 5# panda.xiong 的帖子

那題確實要拿1去減 , 我真的忘了 , 歹勢 , 這就是全國考差的原因了
第六題請參考指教
信賴區間這邊不熟 , 寸絲大神啊 , 數學筆記好像沒有關於這個項目的練習
所以我真的不熟


[ 本帖最後由 ichiban 於 2013-5-28 04:24 PM 編輯 ]

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回復 6# ichiban 的帖子

哈~~我也不熟丫...基本上統計這個東西我不太會,我只會一點皮毛的機率而已

統計這邊的題目,本身比較沒有感覺,不知道哪些是重要或好玩的題目,

所以留給其它大神處理吧!
文不成,武不就

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請問第8題怎麼利用第1小題
來證明圓面積?
感謝

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回復 8# ilikemath 的帖子

8. (2) 請參考指教

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第6題(2)

第6題(2)
參考看看:
     ∵是在A 民調機構
     ∴p=0.56 ,q=0.44
         √pq/n <0.015
-->√0.56×0.44/n <0.015
    ∴n>1095.1… , ∴n=1096

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