填充第 3 題：
\(x^4-2(3a+1)x^2+7a^2+3a=0\)恰有兩實根，則實數\(a\)之最小值為　　　。
[解答]
令 \(t=x^2\)，則

依題意，若且唯若 \(t^2-2(3a+1)t+(7a^2+3a)=0\) 恰有一非負根與一負根。

\(\Leftrightarrow\) 判別式 \([-2(3a+1)]^2-4\cdot1\cdot(7a^2+3a)\geq0\) 且兩根之積 \(7a^2+3a<0\)

\(\displaystyle\Leftrightarrow -\frac{3}{7}\leq a\leq0\)

\(\Rightarrow a\) 的最小值為 \(\displaystyle-\frac{3}{7}\)

參考資料請見： https://math.pro/db/thread-673-1-1.html

Big O 符號介紹~

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7O%E7%AC%A6%E5%8F%B7

瞭解大O符號之後，就會瞭解了。

如果不用大O符號的話，同樣原理的東西寫起來就會像下面這樣：

單選第 5 題：

所求＝\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \left(\frac{1}{3}n^3+a_2n^2+a_1n+a_0\right)\left(\frac{1}{6}n^6+b_5n^5+b_4n^4+b_3n^3+b_2n^2+b_1n+b_0\right)}{\displaystyle \left(\frac{1}{4}n^3+c_3n^3+c_2n^2+c_1n+c_0\right)\left(\frac{1}{5}n^5+d_4n^4+d_3n^3+d_2n^2+d_1n+d_0\right)}\)


（上列的 \(a_i,b_i,c_i,d_i\) 皆為常數）

　　　\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{18}n^9+e_8n^8+e_7n^7+\cdots+e_1n+e_0}{\displaystyle \frac{1}{20}n^9+f_8n^8+f_7n^7+\cdots+f_1n+f_0}\)


（上列的 \(e_i,f_i\) 皆為常數）

　　　\(\displaystyle=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}\)

相同主題合併討論，方便後人查詢，感謝。

把八個人當作是八個點，

每點連出去有五個實線，

用實線連接在一起表示互相認識

再多用兩條虛線連接另外兩個點，

虛線表示不認識，

這樣八個點之間，任兩點都有一條線(不管是虛線還是實線)，

與其討論實線，不如討論虛線，

虛線比較少，比較好討論。

每個點必須連接兩條虛線出去~連到其他的點。

看虛線連接的情況有幾種，討論一下就OK了。

虛線的連接情況，就是前面 lianger 老師討論的圖。

設 \(r\) 為正整數，

\(\displaystyle 1^r+2^r+3^r+\cdots+n^r=\sum_{k=1}^n k^r=\sum_{k=1}^n \left(k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots\left(k-r+1\right)+O\left(k^{r-1}\right)\right)\)

\(\displaystyle =\sum_{k=1}^n k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots\left(k-r+1\right)+\sum_{k=1}^n O\left(k^{r-1}\right)\)

\(\displaystyle =\sum_{k=1}^n \frac{1}{r+1}\Bigg(\left(k+1\right)k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots\left(k-r+1\right)-k\left(k-1\right)\left(k-2\right)\cdots\left(k-r+1\right)\left(k-r\right)\Bigg) + O\left(n^r\right)\)

\(\displaystyle =\frac{1}{r+1}\Bigg(\left(n+1\right)n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots\left(n-r+1\right)-0\Bigg)+O\left(n^r\right)\)

\(\displaystyle =\frac{1}{r+1}\Bigg(n^{r+1}+O\left(n^r\right)\Bigg)+O\left(n^r\right)\)

\(\displaystyle =\frac{1}{r+1}\cdot n^{r+1}+O\left(n^r\right)\)

單選第 4 題：
設\(\alpha,\beta,\gamma\)為方程式\(2x^3+x^2-x-7=0\)的三根，將\(\displaystyle \frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}+\frac{1}{\gamma-1}\)之值四捨五入後可以得到下列何數？
(A)0　(B)1　(C)2　(D)3
[解答]
令 \(f(x)=2x^3+x^2-x-7=2\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\left(x-\gamma\right)\)

則 \(f\,'(x)=6x^2+2x-1=2\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)+2\left(x-\beta\right)\left(x-\gamma\right)+2\left(x-\alpha\right)\left(x-\gamma\right)\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{1}{x-\alpha}+\frac{1}{x-\beta}+\frac{1}{x-\gamma}=\frac{f\,'(x)}{f(x)}\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}=\frac{f\,'(1)}{f(1)}=\frac{7}{-5}\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{1}{\alpha-1}+\frac{1}{\beta-1}+\frac{1}{\gamma-1}=\frac{7}{5}=1.4\)

四捨五入得近似值為 \(1\) 。

註：感謝 thepiano 老師提醒筆誤，已修正。