已知 f(x)＝ax2+bx+c 的圖形通過三個點 A(102205)B(103208)C(105213)，

1. 證明　f(x+2)－2f(x+1)+f(x) 恆為定值。

2. 求 1. 之定值。

解答：

1.

令 g(x)＝f(x+1)－f(x)，

因為 f(x) 多項式的次數至多為二次，

所以 g(x) 多項式的次數至多為一次，

⇒　g(x+1)－g(x) 為常數多項式，

亦即 g(x+1)－g(x)＝f(x+2)－2f(x+1)+f(x) 為常數.

（補充：
　　　　如果繼續令 h(x)＝g(x+1)－g(x)，可得 h(x+1)－h(x)＝0

　　　　亦即 f(x+3)－3f(x+2)+3f(x+1)－f(x)＝0 恆成立。

　　　　推廣可得如下定理，龍騰版的教師手冊稱此為巴貝奇定理（refer to Charles Babbage）：

　　　　對任意 n 次多項式 f(x)，設 d 為非零常數，則

　　　　C(n+10)f(x+（n+1）d)－C(n+11)f(x+nd)+C(n+12)f(x+（n－1）d)

　　　　　　－‧‧‧+(－1)n+1C(n+1n+1)f(x)＝0　恆成立，
　
　　　並且

　　　　C(n0)f(x+nd)－C(n1)f(x+（n－1）d)+C(n2)f(x+（n－2）d)

　　　　　　－‧‧‧+(－1)nC(nn)f(x)＝（n！）（f(x) 的首項係數）

）


2.

令 f(x+2)－2f(x+1)+f(x)＝k 為定值，將 x 以 102103 帶入可得

　　f(104)－2f(103)+f(102)＝k　且　f(105)－2f(104)+f(103)＝k

⇒ 　f(104)－k＝211　且　2f(104)+k＝421

解聯立方程式，可得　f(104)＝3632，k＝－31

補充,這裡也有類似的題目
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958#post211903　連結已失效
f(x)=ax2+bx+c
且f(2007)=4015，f(2008)=4018，f(2010)=4023
求f(x+2)−2f(x+1)+f(x)=？


105.4.24補充
f(x) 是二次多項式，若實數a,b,c使得 f(15)=af(11)+bf(12)+cf(14) ，求a+b+c。
(105台南女中，https://math.pro/db/thread-2488-1-1.html)

補充關於巴貝奇的文章

癮科學：查爾斯．巴貝奇的差分機與分析機
https://tw.news.yahoo.com/chines ... ytical-engines.html

（n！） （f(x) 的首項係數）
這邊的展開是不是有問題?我算過應該是n!*a_n*d^n
因為上面的式子是有考慮到d的部分，展開後差分的地方應該是跟d^n有倍數關係

看來我寫太快沒注意到~ 感謝您協助修正~ ^__^

請問一下
如果輸入值不成等差
只要除以間隔後，還是可以用
要怎麼證明呢?
例子如附圖，謝謝