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多項式的題目,巴貝奇定理的縮小版。

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多項式的題目,巴貝奇定理的縮小版。

已知 \( f(x) = ax^2 + bx +c \) 的圖形通過三個點 \( A(102, 205), B(103, 208), C(105, 213)\),

1. 證明 \(f(x+2) - 2f(x+1) + f(x)\) 恆為定值。

2. 求 1. 之定值。

解答:

1.

令 \( g(x) = f(x+1) - f(x) \),

因為 \(f(x)\) 多項式的次數至多為二次,

所以 \(g(x)\) 多項式的次數至多為一次,

⇒ \(g(x+1) - g(x)\) 為常數多項式,

亦即 \(g(x+1) - g(x) = f(x+2) - 2f(x+1) + f(x)\) 為常數.

(補充:
    如果繼續令 \(h(x) = g(x+1) - g(x)\),可得 \(h(x+1) - h(x) = 0\)

    亦即 \(f(x+3) - 3 f(x+2) + 3 f(x+1) - f(x) = 0\) 恆成立。

    推廣可得如下定理,龍騰版的教師手冊稱此為巴貝奇定理(refer to Charles Babbage):

    對任意 \(n\) 次多項式 \(f(x)\),設 \(d\) 為非零常數,則

    \(C(n+1, 0) f(x+(n+1)d) - C(n+1, 1) f(x+nd) + C(n+1, 2) f(x+(n-1)d)\)

      \(-‧‧‧+(-1)^{n+1} * C(n+1, n+1)f(x) = 0\) 恆成立,
 
   並且

    \(C(n, 0) f(x+nd) - C(n, 1) f(x+(n-1)d) + C(n, 2) f(x+(n-2)d)\)

      \(-‧‧‧+(-1)^{n} * C(n, n)f(x)= (n!)\)(\(f(x)\) 的首項係數)




2.

令 \(f(x+2) - 2f(x+1) + f(x) = k\) 為定值,將 \(x\) 以 \(102, 103\) 帶入可得

  \(f(104) - 2 f(103) + f(102) = k\) 且 \(f(105) - 2 f(104) + f(103) = k\)

⇒  \(f(104) - k = 211\) 且 \(2 f(104) + k = 421\)

解聯立方程式,可得 \(f(104) = \frac{632}{3},k = - \frac{1}{3}.\)

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補充,這裡也有類似的題目
http://forum.nta.org.tw/examserv ... ?t=48958#post211903
\( f(x)=ax^2+bx+c \)
且\( f(2007)=4015 \),\( f(2008)=4018 \),\( f(2010)=4023 \)
求\( f(x+2)-2f(x+1)+f(x)= \)?


105.4.24補充
\(f(x) \)是二次多項式,若實數\(a,b,c\)使得\( f(15)=af(11)+bf(12)+cf(14) \),求\(a+b+c\)。
(105台南女中,https://math.pro/db/thread-2488-1-1.html)

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補充關於巴貝奇的文章

癮科學:查爾斯.巴貝奇的差分機與分析機
http://chinese.engadget.com/2011 ... analytical-engines/

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回復 1# weiye 的帖子

(n!) (f(x) 的首項係數)
這邊的展開是不是有問題?我算過應該是n!*a_n*d^n
因為上面的式子是有考慮到d的部分,展開後差分的地方應該是跟d^n有倍數關係
千金難買早知道,萬般無奈想不到

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回復 4# jackyxul4 的帖子

看來我寫太快沒注意到~ 感謝您協助修正~ ^__^

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