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100南科實中

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100南科實中

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2011-6-20 20:36, 下載次數: 4603

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9.
\( x,y,z \)為正數,求證\( \displaystyle \frac{x}{y+2z}+\frac{y}{z+2x}+\frac{z}{x+2y}\ge 1 \)

Let \( a,b,x,y,z \) be positive reals.Show that \( \displaystyle \frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\ge \frac{3}{a+b} \)
http://www.artofproblemsolving.com/blog/25875
(Romanian TST)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-20 09:16 PM 編輯 ]

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2011-6-20 21:16

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1.
\( (a+\sqrt{a^2+4})(b+\sqrt{b^2+9})=16 \),求\( a \sqrt{b^2+9}+b \sqrt{a^2+4} \)。

設\( (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+4})=7 \),則\( x \sqrt{y^2+4}+y \sqrt{x^2+1} \)之值為何?
(建中通訊解題第66期)

110.2.11補充
設\(x,y\)為實數。已知\(y^2\ge 1\)且滿足\((\sqrt{1+x^2}-x)(y-\sqrt{y^2-1})=1\),試求\(x^2-y^2=\)   
(109高中數學能力競賽 北二區複試筆試二,https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html)

5.
1,2,2,3,3,3,4,4,4.4.5....,若前n項和為\( S_n \),求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n \sqrt{n}} \)

數列:1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,21,23,25,26,...,依此規則,若第n項為\( a_n \),求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n} \)。
(97國立大里高中)


11.
\( x,y,z \)為實數,已知\( x^2+y^2+z^2=6 \),\( x+y+z=4 \),求\( xyz \)的最大最小值?
[解答]
\( (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) \) , \( xy+yz+zx=5 \)
假設\( xyz=k \)
\( x,y,z \)為三次方程式\( t^3-4t^2+5t-k=0 \)的三實根
\( f(t)=t^3-4t^2+5t-k \),\( f'(t)=3t^2-8t+5=0 \) , \( \displaystyle t=\frac{5}{3},1 \)
\( \displaystyle f(\frac{5}{3})f(1)\le 0 \) , \( \displaystyle (\frac{50}{27}-k)(2-k)\le 0 \)
\( \displaystyle \frac{50}{27} \le k \le 2 \)
\( xyz \)最小值\( \displaystyle \frac{50}{27} \),最大值2

\( x,y,z \in R \),\( x+y+z=6 \),\( x^2+y^2+z^2=18 \),試求\( x^3+y^3+z^3 \)的最大值。
(100北一女)

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回復 1# 八神庵 的帖子

100南科實中
由 thepiano 發表於 2011年 6月 21日, 00:41
提供一下參考答案(非官方版本)

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:33 PM 編輯 ]

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回復 4# nanpolend 的帖子

第一題類似做法
6604

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:36 PM 編輯 ]

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回復 5# nanpolend 的帖子

第六題詳解類似中壢高中第10題

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:39 PM 編輯 ]

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回復 7# nanpolend 的帖子

第4題詳解(有錯誤請來信)

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:41 PM 編輯 ]

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回復 7# nanpolend 的帖子

第2題詳解

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回復 8# nanpolend 的帖子

第3題相類似解法100中壢高中填充第八題
有二種不同的解法

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:44 PM 編輯 ]

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回復 9# nanpolend 的帖子

第7題詳解(有錯誤請來信)

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:45 PM 編輯 ]

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