引用:
原帖由 thepiano 於 2014-6-20 11:14 AM 發表 
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計算2.
設\( \alpha,\beta,\gamma \)為銳角，且\( cos^2 \alpha+cos^2 \beta+cos^2 \gamma=1 \)，試證明\( tan \alpha+tan \beta+tan \gamma \ge 3 \sqrt{2} \)
在構造法解題P24有個類題
已知\( \alpha,\beta,\gamma \)都是銳角，且\( cos^2 \alpha+cos^2 \beta+cos^2 \gamma=1 \)，求證：\( \displaystyle \frac{3 \pi}{4}<\alpha+\beta+\gamma< \pi \)。
另外我選了一些書上的題目讓各位做做看
設正數\( x,y,z \)滿足方程組\( \cases{\displaystyle x^2+xy+\frac{z^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+z^2=9 \cr z^2+xz+z^2=16} \)，試求\( xy+2 yz+3 xz \)的值。
P17
(104嘉義女中，
https://math.pro/db/thread-2287-1-1.html)
(104華江高中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2302&page=2#pid13858)
(105大同高中二招，
https://math.pro/db/thread-2515-1-1.html)
求二元函數\( \displaystyle z=(a-b)^2+\left( \sqrt{2-a^2}-\frac{9}{b} \right)^2 \)的最小值。
P29
設\( a,b,c \)互不相等，證明\( \displaystyle \frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1 \)。
P34
如果\( x,y,z,w \)滿足方程組\( \cases{\displaystyle \frac{x^2}{2^2-1^2}+\frac{y^2}{2^2-3^2}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{4^2-1^2}+\frac{y^2}{4^2-3^2}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{6^2-1^2}+\frac{y^2}{6^2-3^2}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{8^2-1^2}+\frac{y^2}{8^2-3^2}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1} \)
求\( x^2+y^2+z^2+w^2 \)的值。
P35
設長為\( a,b,c \)的三線段構成銳角三角形，證明：存在一個對棱相等且分別為\( a,b,c \)的四面體，並計算其體積。
P66
最後面的習題我也選了一些題目讓各位做做看
1.
已知\( a>0,b>0,c>0 \)，且\( \cases{a^2+ab+b^2=19 \cr b^2+bc+c^2=37 \cr c^2+ca+a^2=28} \)，求\( a+b+c \)的值。
3.
設\( x,y,z \)是三個正實數，證明\( \sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{y^2-yz+z^2}>\sqrt{z^2-xz+x^2} \)。
4.
設\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \)，證明\( sin x<x<tan x \)。
5.
設\( x,y,z \)都是實數，並滿足\( x+y+z=a \)，\( \displaystyle x^2+y^2+z^2=\frac{a^2}{2} \) ( \( a>0 \) )，證明：\( \displaystyle 0 \le x,y,z \le \frac{2}{3}a \)。
10.
設n為正整數，則\( \displaystyle sin \frac{\pi}{2n+1} \cdot sin \frac{2 \pi}{2n+1} \ldots sin \frac{n \pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n} \)。
11.
設\( P(x) \)是n次多項式，且\( \displaystyle P(k)=\frac{k}{1+k} \)( \( k=0,1,\ldots , n \) )，試求\( P(n+1) \)。
12.
證明：對任何正整數\( n \),有\( \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\ldots +\sqrt{n}}}}<2 \)。
16.
設\( a,b,c,d \)都是正數，證明：存在一個三角形，其三邊之長分別為\( \sqrt{b^2+c^2} \)，\( \sqrt{a^2+c^2+d^2+2cd} \)，\( \sqrt{a^2+b^2+d^2+2ab} \)，並計算這個三角形的面積。
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