填充第 8 題：

因為 \(1\leq x<2\)，所以 \([x]=1\)

且因為 \(2\leq 2x^2<8 \Rightarrow [2x^2]=2,3,4,5,6, \mbox{ 或 } 7\)

分成 6 種情況討論，

可以解 \(x\) 的一元二次方程式

解出來還要檢驗一下～

看是否滿足 \([2x^2]\) 等於該情況的值～與 \(1\leq x<2\)

可得只有 \(\displaystyle x=1, \frac{5}{4},\frac{3}{2}\) 會滿足題目的要求。

填充第 6 題：
一隻螞蟻在一個正四面體的某一個頂點A之上，此時它隨機選擇一個臨近的頂點(每個臨近的頂點B,C,D被選中的機率皆為\( \displaystyle \frac{1}{3} \) )，並且在一分鐘之後走到那裡；接著它又隨機選擇一個臨近的頂點，並在一分鐘之後走到那裡。假設這隻螞蟻一直以上述的方式在各個頂點之間走動，那麼在n分鐘之後，它的位置恰好在頂點A的機率為？
[解答]

令 \(P(n)\) 表示「自某點出發，經過 \(n\) 分鐘之後，又回到該點的機率」。

則 \(\displaystyle P(1)=0, P(n)=1\cdot\left(\frac{1-P(n-1)}{3}\right)+0\cdot P(n-1),\forall n=2,3,4,\cdots\)

可將上列遞迴關係式改寫為 \(\displaystyle P(n)-\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}\left(P(n-1)-\frac{1}{4}\right)\)

再用累乘法，即可解得 \(\displaystyle P(n)=\frac{1}{4}+\left(\frac{-1}{3}\right)^{n-1}\left(\frac{-1}{4}\right) \)。




說明：

自 \(A\) 點出發，經過 \(1\) 分鐘之後，必然停在 \(B,C,D\) 中的其中一點（三個機率各 \(\displaystyle\frac{1}{3}\)，以下一起討論），

不失一般性，假設自 \(A\) 出發經 \(1\) 分鐘後停在 \(B\) 點，則

　　因為「自 \(B\) 點出發經過 \(n-1\) 分鐘後，還停在 \(B\)點的機率為 \(P(n-1)\)」

　　「自 \(B\) 點出發經過 \(n-1\) 分鐘後，不停在 \(B\)點的機率為 \(1-P(n-1)\)」

　　「自 \(B\) 點出發經過 \(n-1\) 分鐘後，停在 \(A,C,D\) 點的機率皆為 \(\displaystyle\frac{1-P(n-1)}{3}\)」

因此，

自 \(A\) 點出發，經過 \(n\) 分鐘後，停在 \(A\) 點的機率是 \(\displaystyle C^3_1\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1-P(n-1)}{3}\right)= 1\cdot\left(\frac{1-P(n-1)}{3}\right)   \)

圖解：Ａ→〝Ｂ→其他→其他→‧‧‧→Ａ（非Ｂ）〞
　　　Ａ→〝Ｃ→其他→其他→‧‧‧→Ａ（非Ｃ）〞
　　　Ａ→〝Ｄ→其他→其他→‧‧‧→Ａ（非Ｄ）〞


Let A,B,C, and D be the vertices of a regular tetrahedron each of whoseedges measures 1 meter. A bug, starting from vertex A,observes thefollowing rule: at each vertex it chooses one of the three edgesmeeting at that vertex, each edge being equally likely to be chosen,and crawls along that edge to the vertex at its opposite end. Let \( \displaystyle p=\frac{n}{729} \) be the probability that the bug is at vertex A when it has crawledexactly 7 meters. Find the value of n.
(1985AIME第12題，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_12)

101.4.19補充相關問題
有一正八面體的骨架。假設從任一頂點出發走1步，可以走到相鄰的頂點，且從任一頂點走向各相鄰頂點的機率都是\( \displaystyle \frac{1}{4} \)。現從A點出發，試分別求出走了n步之後，會走到A點、B點或C點的機率。(用n的式子表示這三項機率)
(國立台灣大學數學系101學年度學士班甄選入學，連結已失效h ttp://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32]http://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32)

101.5.21補充
一隻螞蟻正保持在一個正四面體的某一個頂點A上，此時它隨機選擇一個鄰近的頂點(每個鄰近的頂點被選中的機率皆為\(  \displaystyle \frac{1}{3} \))，並且在一分鐘之後走到那裡；接著它又隨機選擇一個鄰近的頂點，並在一分鐘之後走到那裡。假設這隻螞蟻一直以上述的方式在各個頂點之間走動，那麼恰在30分鐘後，它的位置恰好在一開始起步之頂點A的機率是多少呢？(以指數表示，不必乘開)
(101台中二中，https://math.pro/db/thread-1367-1-1.html)

111.2.20補充
設動點\(P\)每一次自正四面體\(ABCD\)的一個頂點移至另一頂點的機率都是\(\displaystyle \frac{1}{3}\)。現在\(P\)自\(A\)出發，移動4次又回到\(A\)且恰好經過一次\(B\)的機率為　　　。
(110高中數學能力競賽北一區筆試二，https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html)

113.4.20補充
已知\(ABCD\)為正四面體，有一隻小蟲反覆在四個頂點之間移動，它從一個頂點爬行至另一頂點稱為一次，已知小蟲從一頂點爬行到任一相鄰頂點的機率均相同，今小蟲從\(A\)點開始出發沿稜線爬行至\(B\)、\(C\)、\(D\)其中一點，設\(a_n\)表示小蟲爬行\(n\)次後在\(A\)點的機率。可以寫出一般式\(a_n=\)　　　。
(113中山女中，https://math.pro/db/thread-3834-1-1.html)

請問weiye老師，若將題目改成下面這樣，該如何算呢？
將『中科實中中部科科第一』十個字重新排成一列，則相同字不能相鄰的機率＝___________。

引用:

原帖由 casanova 於 2012-4-9 11:30 PM 發表
請問weiye老師，若將題目改成下面這樣，該如何算呢？
將『中科實中中部科科第一』十個字重新排成一列，則相同字不能相鄰的機率＝___________。

多除一個分母 \(\displaystyle \frac{10!}{3!3!}\)

H(11,6-5)表示將剩下的1個讓11個括號去分的方法數

這當中也包括了原本已拿5個的那個括號再拿最後這一個（也就是得6）的方法

不好意思，還想請問單選9以及填充5，感謝老師。

單選第9題
設\( a,b,c \in \{\; 1,2,3,\ldots,9 \}\; \)，若\( \displaystyle \frac{699}{900}<0.a \overline{bc}<\frac{700}{900} \)，則\(a+b+c=\)？
(A)5　(B)13　(C)17　(D)20　(E)23。

填充第5題
設四次多項式\(f(x)=-x^4+x^3-x^2+x\)，選取積分區間\( a \le x \le b \)，使得定積分\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx \)得到最大值，求此最大值為　　　。

單選2是98年學測的考題(選項A數字有改)

單選第 9 題：

\(\displaystyle 0.a\,\overline{bc}=\frac{100a+10b+c-a}{990}\)

\(\displaystyle  \frac{699}{900}=\frac{699\times11}{9900}=\frac{768.9}{990}\)

\(\displaystyle  \frac{700}{900}=\frac{700\times11}{9900}=\frac{770}{990}\)

因為 \(\displaystyle \frac{768.9}{990}<\frac{100a+10b+c-a}{990}<\frac{770}{990}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow 100a+10b+c-a=769\) 且 \(a,b,c\in\left\{1,2,\cdots,9\right\}\)

\(a=7\Rightarrow 100a+10b+c=769+7=776\Rightarrow b=7,c=6\)

\(\Rightarrow a+b+c=7+7+6=20\)

填充第 5 題：
設四次多項式\(f(x)=-x^4+x^3-x^2+x\)，選取積分區間\(a\le x \le b\)，使得定積分\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\)得到最大值，求此最大值為　　　。

\(f(x)=-x^4+x^3-x^2+x=-x(x-1)(x^2+1)\)

可知『 \(f(x)\geq 0\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1\)』

因此，\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\) 的最大值發生在 \(a=0,b=1\) 時，

此最大值為 \(\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{13}{60}.\)

109.6.7補充
設四次多項式\(f(x)=-x^4+2x^3-x^2+2x\)，選取積分區間\(a\le x \le b\)使得定積分\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\)達到最大值，求此定積分的最大值　　　。
(109板橋高中，https://math.pro/db/thread-3343-1-1.html)

填充第 6 題，另解：

參考：https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

分子：\(n+1\) 個排成一直線的相鄰區域填入 \(A,B,C,D\) 四種顏色，相鄰塗異色，

　　首尾都要填Ａ（也就是首尾要接在一起，視為同一個區塊），

　　方法數＝\(\displaystyle\frac{1}{4}\left(3\cdot\left(-1\right)^n+3^n\right)\)

　　（套用：一個圓被半徑分割成n等份用k種顏色來塗,每一區域塗一色,相鄰異色,顏色可以重複,不一定k種顏色全用,求證塗法為(k-1)(-1)^n+(k-1)^n　）

分母：\(n+1\) 個排成一直線的相鄰區域填入 \(A,B,C,D\) 四種顏色，相鄰塗異色，

　　　只有首位要填Ａ，其他位置任意塗色，只要相鄰塗異色就好，

　　方法數＝\(3^n\)

所求機率＝\(\displaystyle\frac{\frac{1}{4}\left(3\cdot\left(-1\right)^n+3^n\right)}{3^n}=\frac{1}{4}\left(\frac{(-1)^n}{3^{n-1}}+1\right)\)



ps. 如果還要再一個另解的話，還可以先寫轉移矩陣 \(T\)，再對角化，然後算 \(T^n\).......＝＝