填充 1.
求\(x^{30}\)除以\((x+1)^2(x^2+1)\)的餘式=　　　。
[解答]
令 \(f(x) = {x^{30}}\)
依除法原理有 \(f(x) = {(x + 1)^2}({x^2} + 1)q(x) + r(x)\)，其中 \(q(x)\) , \(r(x)\) 皆為實係數多項式且 \(r(x)\) 的次數不超過3次或 \(r(x) = 0\)。
可令  \(r(x) = (ax + b)({x^2} + 1) + cx + d\)，其中 \(a,b,c,d\)  皆為實數
解聯立 \(\left\{ \begin{array}{l}f(i) = r(i)\\f( - 1) = r( - 1)\\f'( - 1) = r'( - 1)\end{array} \right.\)，可得 \(a,b,c,d\) 之值

113.4.21補充
\(x^{2024}\)除以\((x^2+1)(x-1)^2\)所得的餘式為　　　。
(113文華高中，https://math.pro/db/thread-3836-1-1.html)

寸絲老師好，
完全沒有想到微分的結果也可以拿來用，\((x+1)^2\)是關鍵，學到了！
非常謝謝您！

第 7 題
函數\(f(x)=x^2+1+\sqrt{x^4-8x+8}\)在\(x=\)　　　時有最小值　　　。
[解答]
f(x) = x^2 + 1 + √(x^4 - 8x + 8)
= √[(2x)^2 + (x^2 - 1)^2] + √(2x - 2)^2 + (x^2 - 2)^2]
視為拋物線 y = (1/4)x^2 上一點 (2x，x^2) 到 焦點(0，1) 與到 (2，2) 距離和的最小值
即拋物線 y = (1/4)x^2 上一點 (2x，x^2) 到準線 y = -1 與到 (2，2) 距離和的最小值
此點為 (2，1)，此時 x = 1

thepiano老師好，原來是這樣配！
我一直想辦法令 t=x^2+c 讓x消失變一次式都無法，想錯方向了
非常謝謝您！