114復興高中

2.
復興大樓前的樓梯有10階，小明每步可走一階、兩階或三階，求小明走上復興大樓的方法數有幾種?

某樓梯有10階，小清自底部以每次1或2或3階方式向上，問共有幾種方式爬到頂端？
(99清水高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1017&page=1#pid7501)

3.
求\(x^{40}\)除以\((x^2+1)(x+1)^2\)的餘式=？

求\(x^{30}\)除以\((x+1)^2(x^2+1)\)的餘式=　　　。
(93台南女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3491&page=2#pid22972)

5.
令一等差數列的前\(k\)項和為\(S_k\)，若已知\(S_n=m\)且\(S_m=n\)，求\(S_{m+n}=\)？
連結有解答http://www.mathland.idv.tw/iofor ... 42496&bname=ASP

6.
\((logx)^2-[logx]-3=0\)的所有實根之乘積為\(10^m\)，其中\([.]\)為高斯函數，則\(m=\)？

\((logx)^2-[logx]-2=0\)的所有實根的乘積為\(10^m\),求\(m=\)?
連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=542&page=1#pid785

7.
將半徑為\(r\)的半球體容器裝滿水，平放於桌上(側視圖為開口向上的下半圓)，如今將之慢慢傾斜\(30^{\circ}\)，在不考慮內聚力、附著力等各種物理現象下，試求此時容器內剩下的水之體積為多少？
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1365&page=1#pid5626
thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teacher ... mp;t=386&p=1253

8.
\(5x^2-6xy+5y^2-4x-4y-4=0\)，求\((x-1)^2+(y-1)^2\)的最大值=？

設\(x\)、\(y \in R\)，\(4x^2-24xy+11y^2+40x+30y-145=0\)，求\((x-4)^2+(y-3)^2\)的最小值=　　　。
(93台南女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3491&page=1#pid22357)

11.
三角形\(ABC\)，\(\angle A\)、\(\angle B\)與\(\angle C\)分別對應的三邊長為\(a\)、\(b\)與\(c\)，已知\(\angle A=40^{\circ}\)且\(b^2-c^2=ac\)，求\(\angle C=\)？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078

填充13
數列\(\{\;a_n \}\;\)滿足\(a_1=1\)且\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2a_n+2}\)，(\(\forall n\ge 1\))，求\(a_{2025}=\)？
[解答]

填充12
有\(n\)組數據：\(\sqrt{1}\)、\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{7}\)、\(\ldots\)、\(\sqrt{2n-1}\)，令這\(n\)組數據的算術平均為\(\mu_n\)，標準差為\(\sigma_n\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\sigma_n}{\mu_n}=\)？
[解答]

想請教一下第10題 謝謝老師！

第 10 題
在\(\triangle ABC\)中，\(\angle{C}\)為直角，\(G\)為重心，且\(G\)到\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)的距離和為6。若\(\overline{AB}=15\)，求\(\triangle ABC\)的面積=？
[解答]
作 GD 垂直 BC 於 D，GE 垂直 AC 於 E
6 = GD + GE = (1/3)(AC + BC)
AC + BC = 18
又 AC^2 + BC^2 = 15^2
可求出 △ABC = (1/2) * AC * BC = 99/4

謝謝thepiano老師！！

想請教第4題，感謝

第 4 題
設\(x\)為實數，試求\(\displaystyle \frac{x-x^3}{1+2x^2+x^4}\)的最大值=？
[解答]
y = (x - x^3)/(1 + 2x^2 + x^4)
= x(1 - x^2)/(1 + x^2)^2
= (1/2) * [(2x)/(1 + x^2)] * [(1 - x^2)/(1 + x^2)]

令 x = tanθ，tan2θ = (2x)/(1 - x^2)
y = (1/2)sin2θcos2θ = (1/4)sin4θ

當 sin4θ = 1 時，y 有最大值 1/4

謝謝鋼琴老師！

另外，想問第四題這類型的題目只能換算成三角函數計算嗎？