填 1. 提示：裂項相消
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填 6. 在班長是第 \( k+1 \) 個選位子的人條件下，選到該位置的機率是 \(\displaystyle \frac{C^{39}_k}{C^{40}_{k}} = \frac{40-k}{40} \)
故所求為其平均 (k=0~39) \( \frac{41}{80} \)
填 8.
設\(n\)為自然數且滿足\(\displaystyle \left[\frac{n}{7}\right]+\left[\frac{n}{7^2}\right]+\left[\frac{n}{7^3}\right]+\left[\frac{n}{7^4}\right]+\ldots+\left[\frac{n}{7^{2012}}\right]+\left[\frac{n}{7^{2013}}\right]=32\)，其中\([]\)是高斯符號，試求\(n\)之最大值與最小值的和等於
。
[解答]
顯然 \( 7^{2}<n<7^{3} \)，因此 \(\displaystyle 32=\left[\frac{n}{7}\right]+\left[\frac{n}{49}\right]\leq\frac{n}{7}+\frac{n}{49}
\Rightarrow196\leq n \)。
檢驗 \(\displaystyle \left[\frac{196}{7}\right]+\left[\frac{196}{49}\right]=28+4=32 \)。
顯然 \(\displaystyle \left[\frac{196+7}{7}\right]+\left[\frac{196+7}{49}\right]>32 \)，再檢驗 \( \left[\frac{196+6}{7}\right]+\left[\frac{196+6}{49}\right]=32 \)。
故最大最小值可能分別為 \( 196, 202 \) (因 \( \left[\frac{n}{7}\right]+\left[\frac{n}{49}\right] \) 單調)
填 9.
三次曲線\(y=x^3+kx^2+x+1\)，若由原點恰可作兩條切線，試求實數\(k\)範圍
。
[解答]
令切點坐標為 \( (x,y) \)，則 \( 0=(3x^{2}+2kx+1)(0-x)+x^{3}+kx^{2}+x+1 \) 恰有兩相異實數解。整理得 \( -2x^{3}-kx^{2}+1=0 \) ，
其倒根所滿足的方程式 \( t^{3}-kt-2=0 \)，判別式為 \( 0 \)，即 \( -4p^{3}-27q^{2}=4k^{3}-108=0 \Rightarrow k=3 \)。
類題.
1. 設過原點 \( (0,0) \) 有三條相異直線與 \( f(x)=x^{3}+kx^{2}+1 \) 相切，則實數 \( k \) 值的範圍為 __________。(100楊梅高中、99台中二中、102復興高中)
107.4.23新增
三次曲線\(y=x^3+ax^2+1\)，若通過原點可做出此曲線的三條相異切線，求實數\(a\)的範圍為
。
107中科實中國中部，
https://math.pro/db/thread-2943-1-1.html
112.4.30
已知\(y=x^3+kx^2-1\)恰有三相異切線過\((0,0)\)，求\(k\)的範圍。
(112六家高中，
https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)
114.5.6
三次曲線\(y=x^3+ax^2+1\)，若由原點可作三條相異切線，試問實數\(a\)的值可以是下列何者？
(A)\(\pi\) (B)\(\sqrt{2025}\) (C)\(log114\) (D)\(\displaystyle \frac{2025}{114}\)
(114全國高中聯招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3987&page=1#pid27303)
113.5.11
若過原點有三條相異直線與\(y=x^3+ax^2+1\)相切，試求實數\(a\)之範圍為
。
(113武陵高中，
https://math.pro/db/thread-3830-1-1.html)
2. 三次曲線 \( y=x^{3}+ax^{2}+x+1 \)，若由原點可作三條相異之切線，試求實數 \( a \) 的範圍。(101中科實中)
3. \( a\in\mathbb{R} \)，過 \( P(a,2) \) 作 \( y=f(x)=x^{3}-3x^{2}+2 \) 的切線，若所作的切線恰有一條，求 \( a \) 的範圍。(97大里高中)
4. \(\displaystyle \Gamma:\, y=x^{2}-\frac{1}{2} \)，已知 \( A(a,3) \) 可對 \( \Gamma \) 作三條法線，求 \( a \) 的範圍。(100豐原高中)
