謝謝piano老師
懂了

想請教證明第2,3,4題 謝謝

證 2. 提示 p=6m1，數學歸納法

證 3. 提示. 設 xy0 且 x+y，則必有 sinxx, sinx+sinysin(−x−y) (看作三角形的三內角，用三角不等式)

證 4. 提示. (7n+1)3(7n+2)3−(7n+3)3(7n+4)3−(7n+5)3−(7n+6)31 (mod 7)

提供計算3的一個想法  不知可不可

謝謝

引用:

原帖由 阿光 於 2013-6-15 08:50 PM 發表
想請教證明第2,3,4題 謝謝

關於填充２．．．．
小弟有個  不知道有沒有錯的解法 幫我檢查一下

原式 =>  1/x = 1/2013 - 1/y
  
         =>  x= (2013*y) / (y - 2013)   為正整數

        所以由線性組合 可以得到    (y - 2013) | (2013)^2
   
       因為 2013=3*11*61    =>  2013^2  =  (3^2) *( 11^2 ) *( 61^2)

      故 y-2013  共有  (2+1)(2+1)(2+1) =27  種可能   所以   共有27種

請教填充Q6,8,9題
感謝

可以請教填充第一題嗎? 一直想不出解法，用夾擠嗎?
感謝

填充第 1 題提示：n1352n+1=2111352n−1−11352n+1 

填 1. 提示：裂項相消

回復 16# ilikemath 的帖子

填 6. 在班長是第 k+1 個選位子的人條件下，選到該位置的機率是 Ck40Ck39=4040−k

故所求為其平均 (k=0~39) 8041

填 8. 顯然 72n73，因此 32=7n+n497n+n49  196n 。
檢驗 7196+49196=28+4=32 。

顯然 7196+7+49196+732 ，再檢驗 7196+6+49196+6=32 。

故最大最小值可能分別為 196202 (因 7n+n49  單調)

填 9. 令切點坐標為 (xy)，則 0=(3x2+2kx+1)(0−x)+x3+kx2+x+1 恰有兩相異實數解。整理得 −2x3−kx2+1=0 ，

其倒根所滿足的方程式 t3−kt−2=0，判別式為 0，即 −4p3−27q2=4k3−108=0k=3。

類題.
1. 設過原點 (00) 有三條相異直線與 f(x)=x3+kx2+1 相切，則實數 k 值的範圍為 __________。(100楊梅高中、99台中二中、102復興高中)

107.4.23新增
三次曲線y=x3+ax2+1，若通過原點可做出此曲線的三條相異切線，求實數a的範圍為　　　。
107中科實中國中部，https://math.pro/db/thread-2943-1-1.html

112.4.30
已知y=x3+kx2−1恰有三相異切線過(00)，求k的範圍。
(112六家高中，https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)

113.5.11
若過原點有三條相異直線與y=x3+ax2+1相切，試求實數a之範圍為　　　。
(113武陵高中，https://math.pro/db/thread-3830-1-1.html)

2. 三次曲線 y=x^{3}+ax^{2}+x+1 ，若由原點可作三條相異之切線，試求實數 a 的範圍。(101中科實中)

3. a\in\mathbb{R} ，過 P(a,2) 作 y=f(x)=x^{3}-3x^{2}+2 的切線，若所作的切線恰有一條，求 a 的範圍。(97大里高中)

4. \Gamma:\, y=x^{2}-\frac{1}{2} ，已知 A(a,3) 可對 \Gamma 作三條法線，求 a 的範圍。(100豐原高中)

感謝瑋岳師與寸絲師!!