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第 3 題：
設 x_1,x_2,\cdots,x_n 的算術平均數為 \overline{x}，標準差為 S_x，
y_1,y_2,\cdots,y_n 的算術平均數為 \overline{y}，標準差為 S_y，
u_1,u_2,\cdots,u_n 的算術平均數為 \overline{u}，標準差為 S_u，
v_1,v_2,\cdots,v_n 的算術平均數為 \overline{v}，標準差為 S_v，
X 與 Y 的相關係數為 r_{XY}，U 與 V 的相關係數為 r_{UV}，
＜＜先來看看已知蝦咪＞＞
因為 y 對 x 的迴歸直線為 y=a+bx，
所以 \overline{y}=a+b\overline{x} 且 \displaystyle b=r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}
＜＜再來看看最後是找出來蝦咪東西，寫過程的時候這一塊通常反而是會很後面才說～＞＞
｜
｜ v 對 u 的迴歸直線必通過 (\overline{u},\overline{v})，
｜
｜ 且其斜率為 \displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}
｜
└──────────────────────────＜其實這塊只是在思考接下來要怎樣走～不用寫啦＞
＜＜好吧，要把這兩者扯再一起了～＞＞
因為 u=c+dx，所以 \displaystyle \overline{u}=c+d\overline{x}\Rightarrow \overline{x}=\frac{\overline{u}-c}{d}
因為 v=e+fy，所以 \displaystyle \overline{v}=e+f\overline{y}\Rightarrow \overline{y}=\frac{\overline{v}-e}{f}
因為 \overline{y}=a+b\overline{x}，所以 \displaystyle \frac{\overline{v}-e}{f}=a+b\left(\frac{\overline{u}-c}{d}\right) ───（＊）
且
\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{df}{|df|}r_{XY}\cdot\frac{|f|S_y}{|d|S_x}
\displaystyle =\frac{df}{|d|^2}\cdot r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}
\displaystyle =\frac{f}{d}\cdot b
＜＜再來招喚剛剛思考的那塊～＞＞
因為 v 對 u 的迴歸直線必通過 (\overline{u},\overline{v})，
且其斜率 \displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{f}{d}\cdot b
因此，v 對 u 的迴歸直線為
\displaystyle v-\overline{v}=\frac{f}{d}\cdot b(u-\overline{u})
\displaystyle \Rightarrow \frac{v-\overline{v}}{f}=\frac{b}{d}(u-\overline{u})
\displaystyle \Rightarrow \frac{(v-e)-(\overline{v}-e)}{f}=\frac{b}{d}\left((u-c)-(\overline{u}-c)\right)
\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-\frac{\overline{v}-e}{f}=\frac{b(u-c)}{d}-\frac{b(\overline{u}-c)}{d}
將（＊）帶入可得
\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-a=\frac{b(u-c)}{d}
\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}
結束。
然後，下次如果是考填充題，那就～
把 \displaystyle u=c+dx, v=e+fy\Rightarrow x=\frac{u-c}{d}, y=\frac{v-e}{f} 帶入 y=a+bx
即可得 \displaystyle \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}
