其他討論請見
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=1535
計算題
1.求
tan−131+tan−151+tan−171+tan−181之值為何？
類似題
試求正整數n使得下式成立
tan−131+tan−141+tan−151+tan−1n1=
4。
(99東山高中，
https://math.pro/db/thread-941-1-1.html)
Find the value of
10cot(cot−13+cot−17+cot−113+cot−121).
(1984AIME，
https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13)
8.令f(x)為領導係數為1的實係數四次多項式，且
f(99)=2，
f(98)=5，
f(97)=10，
f(96)=17，試求
f(100)=？
2010.7.20
原本的解法有錯,感謝johncai指正
f(x)為四次多項式，且
f(1996)=0，
f(1998)=1，
f(2000)=4，
f(2002)=27，
f(2004)=256，求
f(2008)之值？
(97中一中，
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=46779)
若五次實係數多項式f滿足
f(0)=1，
f(1)=3，
f(2)=4，
f(3)=5，
f(4)=6，
f(5)=18，則
f(6)=？
(2004TRML個人賽)
103.9.12補充
計算題9.
今一單位球(半徑為1的球)球心為原點，且球面上兩點P、Q座標分別為
P(1
00)、
Q(02
222) ，延著球面行進，於PQ最短路徑中取一點R，使得(PR弧長)：(QR弧長)=1：2，試求R點座標。
∠POQ=90
，(PR弧長)：(QR弧長)=1：2得到
∠PAR=30，
∠QOR=60。
∠PAR=30，
OR=1，
OA⊥RA得到
OA=23 ，
AR=21。
\overline{OQ'}=\overline{Q'Q}=\frac{\sqrt{2}}{2} 得到
∠QOQ'=45^{\circ}
所以平面POQR和
xy 平面夾角
45^{\circ} ，得到
∠RAR'=45^{\circ}
\displaystyle \overline{AR}=\frac{1}{2} ，
∠RAR'=45^{\circ} 得到
\displaystyle \overline{AR'}=\overline{R'R}=\frac{\sqrt{2}}{4}
R點坐標為
\displaystyle (\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4})
[延伸思考]
假設地球為一球體，今以地球球心為原點，地球半徑為單位長，建立一直角坐標系。設地球表面上有甲乙丙三地，甲、乙兩地的坐標分別為
(1,0,0) 、
\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) ，而丙地正好是甲地之間最短路徑的中點，則丙地的坐標為？
(90自然組大學聯考)
(98嘉義高中則將坐標改為
(1,0,0) 、
\displaystyle (\frac{3}{7},\frac{2}{7},\frac{6}{7}) 其他則一模一樣)
有一種算法是先求甲
(1,0,0) 、乙
\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) 的中點
\displaystyle (\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{\sqrt{2}}{4})
長度
\displaystyle \sqrt{\left( \frac{3}{4} \right)^2+\left( \frac{1}{4} \right)^2+\left( \frac{\sqrt{2}}{4} \right)^2}=\frac{2 \sqrt{3}}{4}
再換成單位向量
\displaystyle \frac{1}{\frac{2 \sqrt{3}}{4}}(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{\sqrt{2}}{4})=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6}) 就是丙地坐標
想想看為什麼可以這樣算？若將條件換成弧長
1:2 時，用內分點公式算出三等分點後換成單位向量答案卻是錯的，為什麼這個方法不能用在弧長
1:2 的條件上？
99大安高工這題
P(1,0,0) 在x軸上，
\displaystyle Q(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) 在
yz 平面上，而且角度有
90^{\circ} 、
45^{\circ} 、
30^{\circ} 等特別角，似乎條件要特別湊好才能算出答案，假若下次考試時P、Q隨便取兩個坐標
\displaystyle (\frac{1}{\sqrt{14}},\frac{2}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}) 、
\displaystyle (\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}) ，那你要用什麼方法算出答案呢？
110.8.15補充
今一單位球(半徑為1的球)球心為原點，且球面上兩點
P、
Q座標分別為
\displaystyle P(1,0,0),Q(-\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})，沿著球面行進，於
PQ最短路徑中取一點
R，使得弧
PR：弧
QR=1:3，試求
R點座標。
(1092中山大學雙週一題第6題，
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2021s/1092Q&A.htm)
112.4.24補充
將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點
O，地球儀上
A，
B兩個城市的坐標分別為
A(1,0,0)，
\displaystyle B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)，而
C城市正好是
A，
B兩個城市之間最短路徑的中點，試求
C城市的坐標為？
(112台南女中，
https://math.pro/db/thread-3730-1-1.html)
