請教計算第 3 題、第 4 題

110.05.12
試題疑義後，多選第 3 題原答案 ACDE 改成 ACD 。

二、非選擇題
(一)填充題
2.
求方程式3(10+x)2+3(3+x)2=3(10+x)(−3−x)+7 的所有解。
(91台灣師大推薦甄試，97中和高中，https://math.pro/db/thread-2418-1-1.html)

解方程3(8−x)2+3(27+x)2=3(8−x)(27+x)+7 ？
(高中數學競賽教程P388)

3.
將4個a，2個b及2個c共8個字母排成一列，則相同字母不相鄰的排法有幾種？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1610&page=1#pid8194

4.
已知f(x)為10次多項式，且滿足f(k)=k1k=12311，求f(12)之值。
請參閱https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

7.
已知n為正整數，且方程式x10+(nx−1)10=0的10個複數根為zkzk(k=12345)，求5k=11zkzk 。(以n表示)
(1994AIME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_13)

103大同高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1873&page=2#pid10169

107建國中學，https://math.pro/db/thread-2946-1-5.html

二、計算證明題
1.
五人進行「剪刀、石頭、布」的猜拳，五人同時出拳，若能分出勝負（例如：兩人出剪刀，三人出石頭時，算是分出勝負；但五人都出剪刀時，不算分出勝負），則猜拳停止；若分不出勝負，則繼續猜拳，直到分出勝負為止。試求猜拳次數的期望值。

112.7.5補充
112金門高中考相同題目，https://math.pro/db/thread-3771-1-1.html

以剪刀，石頭，布猜拳。
(a)若兩人猜，平均要猜幾次才分勝負。
(b)現有三人一起猜拳(三人一起出拳)。若兩人勝一人，則勝者二人繼續猜。若一人勝二人，此人勝出。問平均要猜幾次，才能剛好有一人勝出。
(95台大數學甄選入學)

2.
在坐標平面上，ABC三點形成直角三角形，其中∠C=90，AB，又過A與B兩點的中線方程式分別為y=x+2021與y=2x+110。試求三角形ABC的面積。

老師要求小明用已知的A、B、C三個點求出ABC的三條中線方程式，但小明求出其中兩條中線的方程式為x+y=1、3x+2y=4後，卻忘了頂點A(21)以外的兩個點之坐標。若G為ABC之重心，請選出正確的選項。
(1)重心G為(2−1)
(2)點D(2−2為∠A對邊的中點
(3)6−7為\Delta ABC其中一個頂點
(4)\vec{AB}與\vec{AG}在\vec{AC}上的正射影向量相同
(5)\Delta ABC的面積為24
(102台中區模擬考，https://math.pro/db/thread-10-1-1.html)

計算證明題3.
正三角形ABC的邊長為1，且D、E分別為邊\overline{AB}、\overline{AC}上的點。將三角形ADE沿線段\overline{DE}摺疊時，頂點A恰落在邊\overline{BC}上，試問在此條件下，線段\overline{AD}的最小值等於多少？
[解答]
設 A對DE的對稱點為F,  a=角BAF
則 AF/sin60度=1/sin(60度+a) ,  
     AD=(AF/2)/cosa=ㄏ3/[ 4sin(60度+a)*cosa]
          =ㄏ3/[ 4(sin60度*cosa+cos60度*sina)*cosa]
          =ㄏ3/[sin(2a)+ㄏ3*cos(2a)+ㄏ3]>=ㄏ3/(2+ㄏ3)=2ㄏ3-3,此數為所求
         此時 a=15度 , AE<AE/sin75度=AD/sin45度<1/2/sin45度<1,D在AB上,E在AC上,沒有問題

計算三 垂直時會有最小值
想問計算2

計算證明題4.
設數列\langle\;a_n\rangle\;滿足\displaystyle a_n=\int_0^1 (1-x^2)^{\frac{n}{2}}dx，n=0,1,2,3,\ldots。
(1)證明：\displaystyle a_n=\frac{n}{n+1}a_{n-2},n\ge 2。
(2)試求\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}的值。
[解答]
計算4(1)
a_{n}=\int^{1}_{0}(1-x^{2})^{n/2}dx
\ \ \ =\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n}{\theta}d{\sin{\theta}}(=\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n+1}{\theta}d{\theta})
\ \ \ =\cos^{n}{\theta}\sin{\theta}|^{\pi/2}_{0}+\int^{\pi/2}_{0}n\cos^{n-1}{\theta}\sin^{2}{\theta}d{\theta}
\ \ \ =n\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n-1}{\theta}(1-\cos^{2}{\theta})d{\theta}
\ \ \ =n\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n-1}{\theta}d{\theta}-n\int^{\pi/2}_{0}\cos^{n+1}{\theta}d{\theta}
\ \ \ =na_{n-2}-na_{n}
整理得
\displaystyle a_{n}=\frac{n}{n+1}a_{n-2}



計算4(2)
考慮 0\leq \theta \leq \pi/2\Rightarrow0\leq \cos{\theta}\leq 1\Rightarrow\cos^{n}{\theta} 遞減\Rightarrow a_{n} 遞減
即 \displaystyle \frac{a_{n+2}}{a_{n}}\leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}=1
又因 \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+2}}{a_{n}}=1
由夾擠定理得 \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1

計算第 2 題
中山大學雙週一題
http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2014s/2ans.pdf
103 臺中女中也考過類似題

計算第 3 題
97 年數學能力競賽嘉義區複賽 第 3 題
連結已失效h ttp://e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=3824

110.5.10版主補充
97高中數學能力競賽，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html

已知n為正整數，且方程式x^{10}+(nx-1)^{10}=0的10個複數根為z_k,\overline{z_k}(k=1,2,3,4,5)，求\displaystyle \sum_{k=1}^5 \frac{1}{z_k \overline{z_k}}。(以n表示)
[解答]
令 w=cos18度+isin18度 , nx-1=x*w^(2k+1)  =>  x=1/(n-w^(2k+1)) ,k=0,1,2..9
所求=(n-w)(n-w^19)+(n-w^3)(n-w^17)+(n-w^5)(n-w^15)+(n-w^7)(n-w^13)+(n-w^9)(n-w^11)
       =5n^2+5

計算證明題2.
在坐標平面上，A,B,C三點形成直角三角形，其中\angle C=90^{\circ}，\overline{AB}=60，又過A與B兩點的中線方程式分別為y=x+2021與y=2x+110。試求三角形ABC的面積。
[解答]
計算2另解
設 \overline{BC}=2a，中點為 M_{A} 、\overline{AC}=2b，中點為 M_{B} 、重心為 G，
\displaystyle \tan{M_{A}GB}=\frac{2-1}{1+2*1}=\frac{1}{3}，\displaystyle \sin{AGB}=\frac{1}{\sqrt{10}}、a^{2}+b^{2}=900
由中線定理得
\overline{AM_{A}}^{2}=3b^{2}+900、\overline{BM_{B}}^{2}=3a^{2}+900
由 \displaystyle \Delta AGB=\frac{1}{3}\Delta ABC 得
\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\overline{AM_{A}}\times \frac{2}{3}\overline{BM_{A}}\times \sin{AGB}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times (2a)\times(2b)
整理得 ab=200，
\Delta ABC=\frac{1}{2}\times (2a)\times(2b)=2ab=400

計算1.
五人進行「剪刀、石頭、布」的猜拳，五人同時出拳，若能分出勝負（例如：兩人出剪刀，三人出石頭時，算是分出勝負；但五人都出剪刀時，不算分出勝負），則猜拳停止；若分不出勝負，則繼續猜拳，直到分出勝負為止。試求猜拳次數的期望值。
[解答]
考場當下不知道怎麼回事 以為是要求出留到最後一人為勝利者時的猜拳次數期望值
嫌麻煩就沒算了 回頭來看發現超級送分
不分勝負機率為\displaystyle \frac{17}{27}
\displaystyle E(X)=\frac{10}{27}+\frac{17}{27}[E(X)+1]
得\displaystyle E(X)=\frac{27}{10}

填充6
已知\Delta OAB內接於拋物線y^2=8x，其中O為原點，且此內接三角形的垂心恰為拋物線的焦點，求\Delta OAB的外接圓之圓心坐標。
[解答]
令A(2t^2,4t),B(2s^2,4s),則過A，B的兩條高的直線方程式分別為
\displaystyle y-4t=\frac{-s}{2}x+st^2
\displaystyle y-4s=\frac{-t}{2}x+ts^2
整理可得\displaystyle 4=\frac{-1}{2}x-st且x=2，得st=-5
代回去直線方程式得到s=-t，可知\displaystyle t=\sqrt{5},s=-\sqrt{5}
所以\displaystyle A(10,4\sqrt{5}),B(10,-4\sqrt{5})
易知所求外心為(9,0)

計算第 3 題
補一下圖