設 \([x]\) 表示不大於 \(x\) 的最大整數值。

對任意正整數 \(n\)，定義 \(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n}\left[\frac{n}{k}\right]\)，求 \(\displaystyle S_{2002} - S_{2001}.\)

解答：

因為 \(2002 = 2\cdot 7\cdot 11\cdot 13\)，所以 \(2002\) 的正因數有 \(\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=16\) 個。



若 \(k\) 為 \(2002\) 的正因數，則 \(\displaystyle \frac{2002}{k}\) 是整數 \(\Rightarrow \displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]=\left[\frac{2002}{k}-\frac{1}{k}\right]=\left[\frac{2002}{k}\right]-1\)，

　　\(\displaystyle\Rightarrow \left[\frac{2002}{k}\right]\) 比 \(\displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]\) 恰多 \(1\)。



若 \(1<k<2002\) 且 \(k\) 不為 \(2002\) 的正因數，則

　　存在整數 \(q,r\) 使得 \(2002=qk+r\)，其中 \(0<r<k\,\Rightarrow\, 0 \leq r-1<k-1\)，

　　\(\Rightarrow 2001 = qk + (r-1)\)

　　\(\Rightarrow \displaystyle\left[\frac{2002}{k}\right]=q=\left[\frac{2001}{k}\right]\)，

　　\(\displaystyle\Rightarrow \left[\frac{2002}{k}\right]\) 與 \(\displaystyle\left[\frac{2001}{k}\right]\) 相等。



故，\(\displaystyle S_{2002} - S_{2001}=16.\)

高斯符號\( [x] \)表示小於等於x的最大整數，令\(\displaystyle S_{n}=[\frac{n}{1}]+[\frac{n}{2}]+...+[\frac{n}{n}] \)
(1)求\( S_{2002}-S_{2001}= \)
(2)試證\( S_{N}≧2N-1 \)
(91北一女數學科競試)

二元二次方程式:\(x^2+xy+y^2=6\) , 求\(x^2-y^2\)的最大值
答案是\(4\sqrt{3}\)
版上的老師可幫忙解一下嗎?那最小值又為何?

謝謝

114.7.11版主補充
和97中和高中第12題題型相同，故將文章合併到97中和高中。
設二元二次方程式\(\Gamma\)：\(x^2+xy+y^2=6\)，\(P(a,b)\)為\(\Gamma\)上的一點，
試求(1)\(\Gamma\)的焦點坐標為　　　。
　　(2)\(a^2-b^2\)的最大值為　　　。

引用:

原帖由 arend 於 2009-5-7 06:02 PM 發表
二元二次方程式:x^2+xy+y^2=6 , 求x^2-y^2的最大值
答案是4sqrt(3)
版上的老師可幫忙解一下嗎?那最小值又為何?

謝謝

令 \(x=u+v,\, y=u-v\)，則

\[x^2+xy+y^2=6\]
\[\Leftrightarrow \left(u+v\right)^2+\left(u+v\right)\left(u-v\right)+\left(u-v\right)^2=6\]
\[\Leftrightarrow 3u^2+v^2=6\, ............... （＊）\]

且題目所要求的 \(x^2-y^2 = \left(u+v\right)^2 - \left(u-v\right)^2 = 4uv\)

由 （＊）及算幾不等式，可得

\[\frac{3u^2 + v^2}{2}\geq \sqrt{3u^2v^2}\]
\[\Leftrightarrow \frac{6}{2}\geq \sqrt{3}\left| uv \right|\]
\[\Leftrightarrow -\sqrt{3} \leq uv\leq \sqrt{3}\]
\[\Leftrightarrow - 4 \sqrt{3} \leq 4uv\leq 4\sqrt{3}\]

所以，題目所要求的最大值為 \(4\sqrt{3}\)，最小值為 \(-4\sqrt{3}.\)

謝謝瑋岳老師的妙解

小弟是用幾何來看, 令x^2-y^2=k
再來用"參數式"或"共切線"來解,答案都怪怪的

不知版上老師能否提供"幾何解"妙解

不過在此還是謝謝瑋岳老師不吝告知

令 x=u+v  y=u-v


請問為何會這樣令呢 有跡可尋嗎

請教第2題(感覺要用到tan三倍角？)，感謝。

第 2 題
等腰\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(D\)在\(\overline{BC}\)上、且\(\overline{AD}⊥\overline{BC}\)；\(E\)在\(\overline{AD}\)上、且\(\overline{AE}=20\)、\(\overline{ED}=2\)，若\(∠BED=3∠BAD\)，則\(\overline{AB}=\)　　　。
[解答]
在△BDE 中， \(\displaystyle \overline{BE}=\frac{2}{\cos 3x}\)
在△ABE 中，由正弦定理，\(\displaystyle \overline{BE}=\frac{10}{\cos x}\)
依此可解出\(\displaystyle \cos x=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
在△ABD 中，\(\displaystyle \overline{AB}=\frac{22}{\cos x}=11\sqrt{5}\)

請教一下97中和
填6
答案為何是8

填 6.
設\([x]\)為表示小於或等於\(x\)的最大整數，令\(\displaystyle b_n=\Bigg[\;\frac{n}{1} \Bigg]\;+\Bigg[\;\frac{n}{2} \Bigg]\;+\Bigg[\;\frac{n}{3} \Bigg]\;+\ldots+\Bigg[\;\frac{n}{n} \Bigg]\;\)，則\(b_{2008}-b_{2007}=\)　　　。
[解答]
若 \( x,k\in\mathbb{N} \) 且 \( k\mid x \)

則 \( x-k\leq x-1<x \Rightarrow\frac{x}{k}-1\leq\frac{x-1}{k}<\frac{x}{k} \Rightarrow[\frac{x-1}{k}]=[\frac{x}{k}]-1 \)。

若 \( x,k\in\mathbb{N} \) 且 \( k\not \mid x \)，則可以得到 \( [\frac{x-1}{k}]=[\frac{x}{k}] \)

而 \( 2008 = 2^3 \times 251\)，故 2008 共有 8 個正因數。

\( b_{2008} - b_{2007} \) 的式子中，把分母相同的兩項依以上規則計算可得 \( b_{2008} - b_{2007} = 8\)