寫得比較簡略，還缺兩題。

真正的第2題是：三角形有一內角為120度且三邊成等差，試求三邊長的比（由大到小）

附上官方版試題與答案

想問12跟15題

114.7.22補充
5.
求滿足不等式\(log_{x+y}\sqrt{1-x^2}>log_{x+y}y\)之所有點\((x,y)\)所形成圖形的面積為　　　。

求不等式\(log_{(x+y)}\sqrt{1-x^2}>log_{(x+y)}y\)所形成的區域面積=　　　。
(100香山高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1186&page=3#pid4684)

感謝S大!
我將檔案合併並轉正

想請教9,12,14,15
謝謝^^

第14題
設\(P,Q\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上兩動點，\(P\)在第一象限，\(Q\)在第二象限，且\(\angle POQ=90^{\circ}\)(\(O\)為原點)，求\(\triangle POQ\)的最小面積為　　　。
(我的教甄準備之路　三角形的面積，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)
[解答]
橢圓方程式\(\displaystyle\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(\overline{PO}\perp\overline{QO}\)，\(\displaystyle\frac{1}{\overline{PO}^2}+\frac{1}{\overline{QO}^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}\)
算幾不等式
\(\displaystyle\frac{\frac{1}{\overline{PO}^2}+\frac{1}{\overline{QO}^2}}{2}\ge\sqrt{\frac{1}{\overline{PO}^2\cdot\overline{QO}^2}}=\frac{1}{\overline{PO}\times\overline{QO}}\)

\(\displaystyle\frac{\frac{7}{12}}{2}\ge\frac{1}{\overline{PO}\times\overline{QO}}\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{7}{24}\ge\frac{1}{\overline{PO}\times\overline{QO}}\)
\(\displaystyle\Rightarrow\overline{PO}\times\overline{QO}\ge\frac{24}{7}\)
\(\displaystyle\triangle POQ=\frac{1}{2}\times\overline{PO}\times\overline{QO}\ge\frac{12}{7}\)
應該是這樣做沒錯，也有想過先算橢圓內接正方形再除以4，結果答案一樣，不知道觀念上對不對?

我的解法是參考板上另一篇文章https://math.pro/db/thread-621-1-1.html

15.
設\(A,B,C,D,E,F\)為相異的六個新城市，現要開闢新的道路連接這六個城市，規定任兩城市間均可選擇恰鋪一條路或者不鋪路。若兩城市之間可以經由所鋪設之道路，從其中一城市到達另一城市，我們就稱兩城市連通。要使得這六個城市兩兩之間均連通，求鋪路的方法數為　　　。
[解答]
找不到遞迴，只好慢慢算
把所有的方法-不連通的情形
n=1   (1)
n=2   (1,1)
n=3   (1,1,1)(2,1)
n=4   (1,1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2,2)
n=5   (1,1,1,1,1)(2,1,1,1)(3,1,1)(4,1)(3,2)(2,2,1)
n=6   (1,1,1,1,1,1)(2,1,1,1,1)(3,1,1,1)(4,1,1)(5,1)(4,2)(3,3)(3,2,1)(2,2,2)(2,2,1,1)
每個數字代表互相連通城市的數量
則

想請問7.10.13 ^^
特別13題算了快一小時還是算不出來 >“<

填充13.
設\(c\)為大於1的實數，\(\Omega_c\)表二次曲線\(y=cx(1-x)\)與\(x\)軸所圍的封閉區域，若直線\(y=x\)將\(\Omega_c\)分成兩塊等面積的區域，求\(c\)的值為　　　。
[解答]
求\(y=x\)和\(y=cx(1-x)\)交點坐標
\(cx(1-x)=x\)，\(c(1-x)=1\)，\(\displaystyle x=1-\frac{1}{c}\)

計算整個拋物線與\(x\)軸圍成的總面積
\(\displaystyle \int_0^1(cx-cx^2)dx=\left.\left(\frac{c}{2}x^2-\frac{c}{3}x^3\right)\right|_0^1=\frac{1}{6}c\)

其中部分面積為總面積的一半
\(\displaystyle\int_0^{1-\frac{1}{c}}\left[-cx^2+(c-1)x\right]dx=\frac{1}{12}c\)

\(\displaystyle \Rightarrow-c\cdot\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{c}\right)^3+\frac{1}{2}(c-1)\left(1-\frac{1}{c}\right)^2=\frac{c}{12}\)

註：因\(\displaystyle c-1=c\left(1-\frac{1}{c}\right)\)，同除以\(c\)後可化簡為：

\(\displaystyle \Rightarrow-\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{c}\right)^3+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{c}\right)^3=\frac{1}{12}\)

\(\displaystyle \Rightarrow\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{c}\right)^3=\frac{1}{12}\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left(1-\frac{1}{c}\right)^3=\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow1-\frac{1}{c}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow c=\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}-1}\)

115.6.9補充
在坐標平面上以\(\Omega\)表曲線\(y=x-x^2\)與直線\(y=0\)所圍的有界區域。
(1)試求\(\Omega\)的面積。
(2)若直線\(y=cx\)將\(\Omega\)分成面積相等的兩塊區域，試求\(c\)之值。
(103數學甲，https://math.pro/db/thread-1992-1-1.html)

第 7 題
\(z\in \mathbb{C}\)且\(|\;z|\;=1\)，\(|\;z^2-z+1|\;\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，求\(M+m=\)　　　。
(類似問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3600)

第10題
\(\displaystyle f(n)=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k)(2k-1)}\)，求極限\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}f(n)=\)　　　。
[解答]
請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=8560

113.6.20補充
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

第 9 題
空間中有一光源位於\((0,2,2)\)，將\(xz\)平面上的圓\(\cases{x^2+(z-1)^2=1\cr y=0}\)照射在\(xy\)平面上，求此圓在\(xy\)平面上的軌跡方程式　　　。
[解答]
https://math.pro/db/thread-674-1-1.html