若\(P,Q\)為\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上的兩個動點，\(O\)為原點且\(\overline{OP}⊥\overline{OQ}\)，試證明\(\displaystyle \frac{1}{\overline{OP}^2}+\frac{1}{\overline{OQ}}^2\)為定值。

109.6.9補充
已知\(O\)為原點，\(A,B\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)上兩點，且\(\overline{OA}⊥\overline{OB}\)，則\(\displaystyle \frac{1}{\overline{OA}^2}+\frac{1}{\overline{OB}^2}=\)　　　.
(108竹北高中代理，https://math.pro/db/thread-3164-1-1.html)

114.4.14補充
橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上有兩動點\(P\)、\(Q\)滿足\(\overline{OP}\perp \overline{OQ}\)，其中\(O\)為原點。試回答以下問題：
(1)證明\(\displaystyle \frac{1}{\overline{OP}^2}+\frac{1}{\overline{OQ}^2}\)為定值。
(2)求出\(\overline{OP}\times \overline{OQ}\)的最小值。
(114高雄女中，https://math.pro/db/thread-3961-1-1.html)

114.6.18補充
設\(P,Q\)為橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)上兩動點，\(P\)在第一象限，\(Q\)在第二象限，且\(\angle POQ=90^{\circ}\)(\(O\)為原點)，求\(\triangle POQ\)的最小面積為　　　。
(106興大附中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2749&page=1#pid16999)

若 OP 與 OQ 的斜率都存在，

令 OP 直線的斜率為 m ，則 OP 方程式為 y=mx

帶入橢圓方程式，分別求出 x^2 與 y^2 (以 a, b, m 表示)

進而可以將 (OP線段)^2 以 a, b, m 表示。



因為線段OP垂直線段OQ，所以可以令 OQ 直線方程式為 y=(-1/m)x，

依然帶入橢圓方程式，可以將 Q 點的 x, y 坐標以 a, b, m 表示，

從而求出 (OQ線段)^2。



再將上述兩式，倒數之後相加，可以求得 (1/線段OP)^2+(1/線段OQ)^2 = (1/a)^2+(1/b)^2





若 OP 或 OQ 的斜率不存在，亦即 P, Q 分別在 x, y 軸，或 y, x 軸上，

依然可得 P, Q 兩點為長、短軸上的兩頂點，

故 (1/線段OP)^2+(1/線段OQ)^2 = (1/a)^2+(1/b)^2 亦成立。






Note: 若將要求證的式子通分之後，可以發現，題意亦可改成，求證 "橢圓中心點到 PQ 線段的距離為定值"，
或是說 "橢圓中心點到 PQ 線段的投影點會在一固定圓上"。