若兩正數\( \alpha \)和\( \beta \)滿足\( log_9 \alpha=log_{12}\beta=log_{16}(\alpha+\beta) \)，試求\( \displaystyle log_5 \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha \beta} \)之值。
(103複賽口試-台南)
類題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=808&page=1#pid1518
對任意正整數\( n \)，試證：\( n^5-n \)必為\( 30 \)的倍數。
(103複賽口試-高雄市)
類題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1593&page=1#pid8065
請問整數\( \displaystyle \left[ \frac{10^{20000}}{10^{100}+3} \right] \)以十進位表示出來時的個位數字為何？其中\( [x] \)表示不大於\( x \)的最大整數。
(103複賽筆試(一)-中投)
類題
https://math.pro/db/thread-708-1-1.html
設\( n \)是大於1的正整數且使得\( (31.5)^n+(32.5)^n \)為正整數，求所有\( n \)的可能值為何？
(103複賽筆試(一)-台南)
求所有的正整數\( n \)，使得\( (108.5)^n+(147.5)^n \)是正整數。
(建中通訊解題第76期，
http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)
袋中有黑白球各一顆，每次從袋中任取一球，取出的球不放回，但再放進一顆黑球，令\( a_n \)為第\( n \)次取到黑球的機率。
(1)寫出\( a_n \)的遞迴關係式。
(2)求\( a_n \)的一般式。
(103複賽筆試(一)-花蓮市)
如右圖，已知\( \overline{AM} \)為\( \Delta ABC \)邊\( \overline{BC} \)上的中線，任作一直線交\( \overline{AB} \)，\( \overline{AC} \)，\( \overline{AM} \)於P,Q,N三點。求證：\( \displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AP}},\frac{\overline{AM}}{\overline{AN}},\frac{\overline{AC}}{\overline{AQ}} \)成等差數列。
(103複賽筆試(一)-屏東)
(建中通訊解題第78期，
http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)
試求方程式\( \displaystyle x^4+4^x+4^{-x}=\frac{21}{4} \)的所有實數解。
(103複賽筆試(一)-高雄市)
證明：對任意正實數\( a,b,c \)，不等式\( \sqrt{a^2+b^2-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc}+\sqrt{c^2+a^2-\sqrt{3}ca}\ge \sqrt{3}a \)恆成立，並給出等號成立的充要條件。
(103複賽筆試(一)-新北市)
類題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=951&page=2#pid2371
如圖，\( A,B,C,D,E \)是半徑為1的半圓周上之相異點，其中\( \overline{AE} \)為直徑。設\( \overline{AB}=a \)，\( \overline{BC}=b \)，\( \overline{CD}=c \)，\( \overline{DE}=d \)。試證：\( a^2+b^2+c^2+d^2+abc+bcd<4 \)。
(103複賽筆試(一)-臺北市)
[解答]初中數學競賽教程P296
連\( \overline{AC} \)，\( \overline{DE} \)。
∵\( ∠B=180^{\circ}-∠AEC \)，
∴\( \overline{AC}^2=a^2+b^2-2ab cos B=a^2+b^2+2ab cos ∠ AEC \)。
而\( 2 cos ∠AEC=\overline{CE}>c \)(∵\( ∠D是鈍角 \))
∴\( \overline{AC}^2>a^2+b^2+abc \)。同理，\( \overline{CE}^2>c^2+d^2+bcd \)。
再由勾股定理，得\( a^2+b^2+c^2+d^2+abc+bcd<\overline{AC}^2+\overline{CE}^2=\overline{AE}^2=4 \)。
對每一正整數\( n \)，\( f(n)+f(n+3)=n^2 \)恆成立，若\( f(93)=93 \)，求\( f(30) \)。
(103複賽筆試(二)-中投)
袋子裡有5個紅球，6個白球，7個黑球，每次隨機抽出一球不放回，直到抽完袋中所有的球。求下列各事件的機率：
(1)最後抽出的球是紅色的。(2)紅球最先被抽完。
(103複賽筆試(二)-中投)
實數\( \alpha \)與\( \beta \)滿足方程式\( \alpha^3-3\alpha^2+5\alpha=4 \)及\( \beta^3-3\beta^2+5\beta=2 \)，求\( \alpha+\beta= \)？
(103複試筆試(二)-台南)
[提示]
\( (\alpha-1)^3+2(\alpha-1)-1=0 \)
\( (1-\beta)^3+2(1-\beta)-1=0 \)
已知\( x,y \)是實數，且\( \cases{(x-11)^5+15(x-11)=5 \cr (y-4)^5+15(y-4)=-5} \)，則\( x+y= \)？
(建中通訊解題第53期，
http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)
若\( \displaystyle x=\sum_{k=1}^{2499}\frac{1}{\sqrt{k}} \)，求\( x \)的整數部分。
(103複賽筆試(二)-屏東)
類題
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html
設\( \alpha \)、\( \beta \)為正整數，且\( \displaystyle \frac{52}{303}<\frac{\alpha}{\beta}<\frac{16}{91} \)，試求當\( \beta \)為最小時，則\( \displaystyle \frac{\alpha}{\beta} \)的值為何。
(103複賽筆試(二)-高雄市)
設\( \Delta ABC \)中，最大角\( A \)為最小角\( B \)的2倍。若\( \Delta ABC \)三邊長為連續的正整數，則其三邊長的和為。
(103複賽筆試(二)-新竹市)
解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078
設\( \displaystyle f(x)=\frac{2^x-2}{2^x+2} \)，求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{2014}f \left( \frac{n}{1007} \right) \)。
(103複賽筆試(二)-嘉義)
[提示]
\( \displaystyle f(2-x)=\frac{2^{2-x}-2}{2^{2-x}+2}=\frac{2^{1-x}-1}{2^{1-x}+1}=\frac{2-2^x}{2+2^x} \)
\( \displaystyle f(x)+f(2-x)=0 \)
已知\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{102^2}+\frac{1}{103^2}} \)為有理數，則此有理數為。
(103複賽筆試(二)-臺北市)
(我的教甄準備之路 裂項相消，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
(建中通訊解題第88期，
http://web2.ck.tp.edu.tw/~mathwe ... 30-15&Itemid=37)
已知\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AB}=6 \)，\( \overline{BC}=5 \)，\( \overline{CA}=7 \)；\( P \)為其三邊上或內部的任一點，\( D,E \)及\( F \)分別在\( \overline{AB} \)、\( \overline{BC} \)及\( \overline{CA} \)三邊上且\( \overline{PD}⊥ \overline{AB} \)、\( \overline{PE}⊥ \overline{BC} \)及\( \overline{PF}⊥ \overline{CA} \)；則\( \overline{PD}+\overline{PE}+\overline{PF} \)的最小值為。
(103複賽筆試(二)-臺北市)
(104松山家商，
https://math.pro/db/thread-2284-1-1.html)
108.5.18補充
長方體\(ABCDEFGH\)中，對角線\(\overline{CE}\)與不相鄰邊之距離分別為\(\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}\)，求此長方體體積。
(新北市口試試題)
一長方體的最長對角線，與不相鄰邊之距離分別為\(\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}\)，求此長方體體積。
(108新北市高中聯招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3133&page=2#pid19907)
