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請各位享用
今年小弟第一發啦

1.(2)
若點D、E、F依序為△ABC三邊BC、AC、AB三邊的垂足，求證：△ABC的垂心等於△DEF的內心
(97松山家商，http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554#9)

2.
ABCD為圓內接四邊形，四邊邊長依序為a、b、c、d，請證明ABCD的面積為
S(abcd)=41(a+b+c−d)(a+b+d−c)(a+c+d−b)(b+c+d−a) 
(蔡聰明，四邊形的面積，數學傳播，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434)


一圓柱體高20、底面圓半徑6，若有一平面通過底面圓心且和底面夾角60，試求較小部分的體積為？
(101中和高中，https://math.pro/db/thread-1378-1-4.html)

空間中，x2+y2=32，z=0及x−z=0所圍成封閉區域的體積為何？
(101彰化高中，thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&t=2816#p7604)
你可以先看這題thepiano的解法，再來看以下的說明會更容易了解。

103.5.31補充
已知一圓柱體的半徑為6，有一平面E與圓柱夾30且通過圓柱直徑，試求平面E與圓柱所截兩塊體積中較小的體積
(103武陵高中，https://math.pro/db/thread-1902-1-1.html)

7.
有一半徑為22 ，高為23 的圓柱體被一平面所截。已知平面截過圓柱體底面的圓心且與底面夾60角，試求：此圓柱體被平面所截之較小部份的體積。
[解答]

Cylinder2.gif (21.54 KB) 2013-5-25 13:32

1.當AB=23 時，ABC為最大的直角三角形，之後就是梯形了。 ABC為直角三角形，∠ACB=60，AB=23 ，得到BC=2 又OB=22 ，∠OCB=90，得到OC=2。 所以當2x22 ，−22x−2 時，截面形狀為直角三角形。 　　當−2x+2時，截面形狀為梯形。

Cylinder1.gif (25.26 KB) 2013-5-25 13:32

2.當2x22 ，−22x−2 時 截面形狀為直角三角形ABC OB=22 ，OC=x得到BC=8−x2  又ABC為直角三角形，∠ACB=60，得到AB=38−x2  \Delta ABC 的面積 \displaystyle =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8-x^2} \cdot \sqrt{3} \sqrt{8-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2) 體積 \displaystyle =2 \int_2^{2 \sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2)dx=\frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3}

Cylinder3.gif (19.8 KB) 2013-5-25 13:32

3.當 -2 \le x \le +2 時，截面形狀為梯形ABCD \overline{OB}=2 \sqrt{2} ， \overline{OC}=x 得到 \overline{BC}=\sqrt{8-x^2} 又 \overline{AB}=2 \sqrt{3} ， ∠DCB=60^\circ ，得到 \overline{BC}=2+\overline{AD} ， \overline{AD}=\sqrt{8-x^2}-2 。 梯形面積 \displaystyle =\frac{\overline{AB}}{2}(\overline{AD}+\overline{BC})=2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1) 體積 \displaystyle =2 \int_0^2 2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1)dx=4 \sqrt{3} \pi

area.gif (6.25 KB)

2013-5-25 14:25

\displaystyle \int_0^2 (\sqrt{8-x^2}-1) dx 可以轉換成橘色區域面積
面積=扇形OAB+直角三角形OAC-長方形= \pi

總共的體積為 \displaystyle \frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3}+4 \sqrt{3} \pi

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-31 04:51 AM 編輯 ]

請問各位老師，有第五題的答案嗎？

\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\times \frac{(n+k)^3+(n-k)^3}{(2n)^3}
\displaystyle =\int_0^1 (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x)^3+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x)^3 dx
\displaystyle \left[ (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}x)^4 \cdot \frac{1}{4}\cdot 2+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x)^4\cdot \frac{1}{4} \cdot (-2) \right]\Bigg\vert\;_0^1
\displaystyle =\left[(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})^4-(\frac{1}{2})^4 \right]\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^4
\displaystyle =\frac{1}{2}
請參考指教

感謝老師，用積分真是太漂亮啦。
可是題目上說，除了3次皆為同色球"外"皆可獲獎，所以獲獎機率是不是應該要用1去減3次皆同色的機率呢？
答案應該還是1/2吧

另外，我想請問第6題...

那題確實要拿1去減 , 我真的忘了 , 歹勢 , 這就是全國考差的原因了
第六題請參考指教
信賴區間這邊不熟 , 寸絲大神啊 , 數學筆記好像沒有關於這個項目的練習
所以我真的不熟

1111.JPG (22.28 KB)

2013-5-28 16:24

[ 本帖最後由 ichiban 於 2013-5-28 04:24 PM 編輯 ]

哈~~我也不熟丫...基本上統計這個東西我不太會，我只會一點皮毛的機率而已

統計這邊的題目，本身比較沒有感覺，不知道哪些是重要或好玩的題目，

所以留給其它大神處理吧！

請問第8題怎麼利用第1小題
來證明圓面積？
感謝

8. (2) 請參考指教

IMG_20130530_190556.jpg (107.3 KB)

2013-5-30 19:51

第6題(2)
參考看看:
     ∵是在A 民調機構
     ∴p=0.56 ,q=0.44
         √pq/n <0.015
-->√0.56×0.44/n <0.015
    ∴n>1095.1… , ∴n=1096