計算證明題

第一題(8分)，數據忘了，等價於【高中數學101】P.235的第6題，答案是5。

第二題(10分)，數據 2462n  的算術平均為 An  ，標準差為 n 。求 limnnAn=?

第三題(10分)，函數  f(x)=x3+ax 上以 P(?,?) 為切點的法線亦為此函數的切線。證明：實數 a1。 (不太確定 ^^!!)

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 11:37 AM 編輯 ]

填充第8題

經過疊代可觀察出 xn=10n+4na 和 yn=10n−4na

因此所求 limnn2logOPn=limnlogn100n+16na=log100=2 


備註：如果不經過疊代的話，也可以用遞迴關係式來推。
由 xn+1=7xn+3yn 和 yn+1=3xn+7yn 可求得 xn+1+yn+1=10(xn+yn)
因此 xk+yk 為等比數列，且首項 x0+y0=2，所以一般項為 xn+yn=210n
然後再由 xn+1=7xn+3yn 將 yn 替換掉可得 xk的遞迴關係式為 xn+1=4xn+610n
......以下省略 ^^!!
只是這樣的方法有點慢，還是觀察比較快，呵呵
不過小弟在考場就是用遞迴在推，而且當時還推不出來，殘念 @@
同事是用矩陣論解這題，但線代忘光了，待人補吧 ^^

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 02:31 PM 編輯 ]

填充第12題

10670+1102010+2011 

=10670+1[(10670)3+1]+2010 

=(10670)2−(10670)+1+201010670+1 

=(10670)2−(10670)+1+201010670+1 

=101340−10670+1

=001

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 02:47 PM 編輯 ]

來幫補一下特徵值的方法

填充 8.

xn+1yn+1=7337xnyn ，令 A=7337 。

則 A 的特徵多項式為 (x−7)2−32=(x−10)(x−4)。故其特徵值為 104，

分別對應之特徵向量為 11  和 1−1 。而 \begin{bmatrix}x_{1}\\ y_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 1 \end{bmatrix}+a\begin{bmatrix}1\\ -1 \end{bmatrix} 。

故 \begin{bmatrix}x_{n}\\ y_{n} \end{bmatrix}=10^{n}\begin{bmatrix}1\\ 1 \end{bmatrix}+4^{n}\begin{bmatrix}a\\ -a \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10^{n}+4^{n}\cdot a\\ 10^{n}-4^{n}\cdot a \end{bmatrix} 。

而 \frac{2}{n}\log\overline{OP_{n}}=\frac{1}{n}\log\left(\overline{OP_{n}}^{2}\right) ， \overline{OP_{n}}^{2}=10^{2n}\cdot(2+t_{n}) ，其中 t_n\to0 , as n\to\infty 。

故 \lim\limits _{n\to\infty}\frac{2}{n}\log\overline{OP}=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{2n}{n}+\lim\limits _{n\to\infty}\frac{\log(2+t_{n})}{n}=2 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 03:24 PM 編輯 ]

想請教填充3,4,7題

填 3.

注意 x^{7}=-1 的根為 \omega, \omega^{3}, \omega^{5}, \omega^{7}, \omega^{9}, mega^{11},\omega^{13} ，其中 \omega^{7}=-1 。

分解 x^{7}+1=(x+1)(x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1) 。

因此 (x-\omega)(x-\omega^{3})(x-\omega^{5})(x-\omega^{7})(x-\omega^{11})(x-\omega^{13})=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1 。

由餘式定理得，所求為 f(2)=43 。

填 4. f(-4) 的正負，可由最高次項決定 (可視為 4 進制)

因此若最高次數是 6 次，則有 3^6 個，同理若最高為 5 次，則有 3^5 個...

故總有 3^6+3^5+\ldots+3+1 = 1093

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-4 06:38 PM 編輯 ]

填充第4題

若 a_6=-1 ，則不論 a_5,...,a_0 怎麼選，結果都不合。
若 a_6=1 ，則不論 a_5,...,a_0 怎麼選，結果都合，所以共有 3^6 種。
若 a_6=0 ，則換討論 a_5 。

若 a_5=-1 ，則不論 a_4,...,a_0 怎麼選，結果都不合。
若 a_5=1 ，則不論 a_4,...,a_0 怎麼選，結果都合，所以共有 3^5 種。
若 a_5=0 ，則換討論 a_4 。

......
依此類推，即可知此題的答案為 3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3^1+1=1093

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-5-4 07:05 PM 編輯 ]

請教各位填充第5、9題，(第9題我不知道在哪裡算過一次 @@!!)

2.
給定數列 \langle\; a_n \rangle\; 滿足 \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{a_1=\frac{1}{2} \cr a_n=3a_{n-1}-2(-1)^{n-1}},n=2,3,4,\ldots 。試問 a_{102} 為　　位數。
[提示]
\displaystyle a_n-\frac{1}{2}(-1)^n=3(\; a_{n-1}-\frac{1}{2}(-1)^{n-1} )\;

設 4a_n=a_{n-1}+4 ，且 a_1=1 ，則 a_n 的一般式為？
(93國立大里高中，https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html)

遞迴數列 \langle\; a_n \rangle\; ，已知 a_1=3 ，且 5a_{n+1}=3a_2+2 ,( n \ge 2 , n \in N )，則 a_n 之一般式為？
(99中興高中，https://math.pro/db/thread-1013-1-1.html)

已知 a_1=1 ， a_{n+1}=3a_n+\frac{3^n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} ，( n \in N )；則 a_n= ？
(100麗山高中，http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&p=6448#p6443)


11.
\displaystyle \frac{3^4+2^6}{7^4+2^6}\times \frac{11^4+2^6}{15^4+2^6}\times \frac{19^4+2^6}{23^4+2^6}\times \frac{27^4+2^6}{31^4+2^6}\times \frac{35^4+2^6}{39^4+2^6}\times \frac{43^4+2^6}{47^4+2^6}= ？
[提示]
n^4+4 \times 2^4=[(n-2)^2+2^2][(n+2)^2+2^2]
(100中科實中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1107&page=1#pid3144)


12.
求 \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2010}+2011}{10^{670}+1} \Bigg]\; 的末三位數字為？

試求 \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2001}}{10^{667}+2002} \Bigg]\; 的末四位數，其中[x]表示小於或等於x的最大整數。
(2002TRML團體賽，96中一中)


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5.
求由五個平面： 2x+2y+z=9 、 x+2y+2z=9 、 x=0 、 y=0 及 z=0 所圍成之立體圖形的體積為？
[解答]
2x+2y+z=9 交 x 軸於 \displaystyle F(\frac{9}{2},0,0) ，交 y 軸於  \displaystyle C(0,\frac{9}{2},0) ，交 z 軸於 A(0,0,9)
x+2y+2z=9 交 x 軸於 \displaystyle B(9,0,0) ，交 y 軸於 \displaystyle C(0,\frac{9}{2},0) ，交 z 軸於 \displaystyle D(0,0,\frac{9}{2})
兩平面還相交於 E(3,0,3)

ODEF在xz平面上的點坐標依次為 (0,0) 、 \displaystyle (0,\frac{9}{2}) 、 (3,3) 、 \displaystyle (\frac{9}{2},0)
四邊形ODEF面積為 \displaystyle =\frac{1}{2} \Bigg\Vert\; \matrix{0 & 0 & 3 & \frac{9}{2} & 0 \cr 0 & \frac{9}{2} & 3 & 0 & 0} \Bigg\Vert\;=\frac{27}{2}

ODEFC體積為 \displaystyle =\frac{1}{3} \times \frac{27}{2} \times \frac{9}{2}=\frac{81}{4}

謝謝

[ 本帖最後由 natureling 於 2013-5-4 08:41 PM 編輯 ]