在xy座標平面上,由不等式〔x平方〕＋〔y平方〕≦1所圍成區域的面積為何?
(其中〔 〕表示高斯符號)

題目：在 \(xy\) 座標平面上,由不等式 \(\displaystyle\left[x^2\right]+\left[y^2\right]\leq1\) 所圍成區域的面積為何?

(其中 \(\big[\,\,\big]\) 表示高斯符號)



解答：

因為 \(x\) 以 \(-x\) 帶入不等式相同，

所以圖形對稱 \(x\) 軸，

同理圖形亦對稱 \(y\) 軸，

所以只畫第一象限，算出面積再乘以四倍即可。




設 \(x\geq0,y\geq0\)，

i. 當 \(0\leq x<1\) 時，\(0\leq y<\sqrt{2}\)。

ii. 當 \(1\leq x<\sqrt{2}\) 時，\(0\leq y<1\)。

畫出第一象限的所圍區域如下，

算出在第一象限的面積，再乘以四倍就是答案。




註：感謝 bugmens 告知題目的出處：2000 TRML個人賽

例  求 \(\displaystyle \left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] +  \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \) 的值? 其中\(\left[ a \right]\)表示不超過\(a\)的最大整數
解
(1) 先求\(\displaystyle 1 + 2 + {2^2} +  \cdots  + {2^{100}} = {2^{101}} - 1\)

(2) \(\displaystyle \frac{{1 + 2 + {2^2} +  \cdots  + {2^{100}}}}{3} = \frac{1}{3}\left( {{2^{101}} - 1} \right)\)

(3) \(\displaystyle \left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] +  \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \)

因為取了高斯函數後，都是整數相加，求和的值會變小

第一項 扣  \(\frac{1}{3}\) ，第二項 扣 \(\frac{2}{3}\)  ，第三項 扣 \(\frac{1}{3}\)
第四項 扣 \(\frac{2}{3}\) ................
由此規律加上同餘理論 奇數項 扣 \(\frac{1}{3}\)
                                   偶數項 扣 \(\frac{2}{3}\)

奇數項共51項，偶數項共50項
\(\displaystyle \frac{1}{3} \times 51 + \frac{2}{3} \times 50 = \frac{{151}}{3}\)

(4) \(\displaystyle \left[ {\frac{1}{3}} \right] + \left[ {\frac{2}{3}} \right] + \left[ {\frac{{{2^2}}}{3}} \right] +  \cdots \left[ {\frac{{{2^{100}}}}{3}} \right] = \frac{1}{3}\left( {{2^{101}}} \right) - \frac{1}{3} - \frac{{151}}{3} = \frac{1}{3}\left( {{2^{101}} - 152} \right)\)

112.1.6補充
求\(\displaystyle \left[\frac{1}{3} \right]+\left[\frac{2}{3} \right]+\left[\frac{2^2}{3} \right]+\ldots+\left[\frac{2^{100}}{3} \right]\)之值，其中\(\left[a\right]\)表示不超過\(a\)的最大整數。
(109高雄市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3338&page=1#pid21314)

設\([\;x ]\;\)表示不超過\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \left[\frac{1}{3}\right]+\left[\frac{2^1}{3}\right]+\left[\frac{2^2}{3}\right]+\left[\frac{2^3}{3}\right]+\ldots+\left[\frac{2^{2024}}{3}\right]\)的末兩位數為　　　。
(112基隆女中第二次，https://math.pro/db/thread-3803-1-1.html)

請問一下，那下面的問題如何解答?
設\(n>0\)，則\( \displaystyle \left[ \frac{n+1}{2} \right]+\left[ \frac{n+2}{2^2} \right]+\ldots+\left[ \frac{n+2^{k-1}}{2^k} \right]+\ldots= \)？

103 鳳新高中 #2 有神解

如果 \( n \in \mathbb N \)，則和為 \( n \)

如果只是 \( n > 0 \)，那應該是 \( [n] \)，小數的部分沒作用

真的太神了~~~~~~~~~~~~~~~~~~謝謝!!