填 2. 提示：同乘 xy，移項，強迫分解

填 4. 用扣的沒錯...但是扣的不慢...基本上就是容斥原理：扣掉一個超過 9 的，加回兩個超過 9 的。沒有三個超過 9 的了。但要注意萬位數的地位和其它四個數字不一樣

填 10. 提示 1000n3−n，而 n3−n=(n−1)n(n+1)，1000=2353

填 7. 這題有印象，應該某年某校考過類題，如圖

2013.06.14.102SongsanCom-7.png (6.81 KB)

2013-6-14 19:12

其中 AB 是 AB 對 AB 邊上的高的對稱點

AB=42+112−241181=314 。

cos(−A)=23144126+16−121=1614 

AB=AB=314−24cos(−A)=2514 。

類題，101桃園高中：已知 ABC 中，AC=4, BC=6，若 cos(A−B)=32，則 ABC 的面積為 _______。

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1373&page=3#pid6740 ←我好像從這偷學的

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-3 05:32 PM 編輯 ]

證 2. 提示 p=6m1，數學歸納法

證 3. 提示. 設 xy0 且 x+y，則必有 sinxx, sinx+sinysin(−x−y) (看作三角形的三內角，用三角不等式)

證 4. 提示. (7n+1)3(7n+2)3−(7n+3)3(7n+4)3−(7n+5)3−(7n+6)31 (mod 7)

填 1. 提示：裂項相消

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填 6. 在班長是第 k+1 個選位子的人條件下，選到該位置的機率是 Ck40Ck39=4040−k

故所求為其平均 (k=0~39) 8041

填 8. 顯然 72n73，因此 32=7n+n497n+n49  196n 。
檢驗 7196+49196=28+4=32 。

顯然 7196+7+49196+732 ，再檢驗 7196+6+49196+6=32 。

故最大最小值可能分別為 196202 (因 7n+n49  單調)

填 9. 令切點坐標為 (xy)，則 0=(3x^{2}+2kx+1)(0-x)+x^{3}+kx^{2}+x+1 恰有兩相異實數解。整理得 -2x^{3}-kx^{2}+1=0 ，

其倒根所滿足的方程式 t^{3}-kt-2=0 ，判別式為 0 ，即 -4p^{3}-27q^{2}=4k^{3}-108=0 \Rightarrow k=3 。

類題.
1. 設過原點 (0,0) 有三條相異直線與 f(x)=x^{3}+kx^{2}+1 相切，則實數 k 值的範圍為 __________。(100楊梅高中、99台中二中、102復興高中)

107.4.23新增
三次曲線y=x^3+ax^2+1，若通過原點可做出此曲線的三條相異切線，求實數a的範圍為　　　。
107中科實中國中部，https://math.pro/db/thread-2943-1-1.html

112.4.30
已知y=x^3+kx^2-1恰有三相異切線過(0,0)，求k的範圍。
(112六家高中，https://math.pro/db/thread-3737-1-1.html)

113.5.11
若過原點有三條相異直線與y=x^3+ax^2+1相切，試求實數a之範圍為　　　。
(113武陵高中，https://math.pro/db/thread-3830-1-1.html)

2. 三次曲線 y=x^{3}+ax^{2}+x+1 ，若由原點可作三條相異之切線，試求實數 a 的範圍。(101中科實中)

3. a\in\mathbb{R} ，過 P(a,2) 作 y=f(x)=x^{3}-3x^{2}+2 的切線，若所作的切線恰有一條，求 a 的範圍。(97大里高中)

4. \Gamma:\, y=x^{2}-\frac{1}{2} ，已知 A(a,3) 可對 \Gamma 作三條法線，求 a 的範圍。(100豐原高中)