第18題
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\left(\frac{n+3}{n}\right)+\left(\frac{n+3}{n}\right)^2+\ldots+\left(\frac{n+3}{n}\right)^{2n}}{n}\)之值為
。
[解答]
先以等比級數求和公式，化簡分子得
分子＝\(\displaystyle\frac{(1+\frac{3}{n})((1+\frac{3}{n})^{2n}-1)}{(1+\frac{3}{n})-1}=\frac{(1+\frac{3}{n})((1+\frac{3}{n})^{2n}-1)}{\frac{3}{n}}\)
原式=\(\displaystyle\frac{1+\frac{3}{n}}{3} \cdot ((1+\frac{3}{n})^{2n}-1)=\frac{1+\frac{3}{n}}{3} \cdot ((1+\frac{3}{n})^{\frac{n}{3}\cdot 6}-1)\)
又
\(\displaystyle\lim_{n \to ∞}\frac{1+\frac{3}{n}}{3}=\frac{1}{3} \)，\(\displaystyle\lim_{n \to ∞}(1+\frac{3}{n})^{\frac{n}{3}\cdot 6}=e^6\)
所求=\(\displaystyle\frac{1}{3} \cdot (e^6-1)\)
114.5.6補充
試求極限值\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)+\left(\frac{n+1}{n}\right)^2+\ldots+\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}{n}=\)
。
(114師大附中二招，
https://math.pro/db/thread-3989-1-1.html)
