內湖高中

5.
若三角形\(ABC\)的三個高分別為\(\displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\)，求三角形\(ABC\)的周長為　　　。
我的教甄準備之路　三角形的面積，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779

8.
已知一個底面半徑為3，高也為3 的直圓柱，平面\(E\)通過底面的直徑\(\overline{AB}\)，且平面\(E\)與底面的夾角為\(45^{\circ}\)，此時平面\(E\)將直圓柱切割成兩部分，求較小那部分的體積為　　　。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1369&page=1#pid5678

想請教填充18，謝謝

第18題
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\left(\frac{n+3}{n}\right)+\left(\frac{n+3}{n}\right)^2+\ldots+\left(\frac{n+3}{n}\right)^{2n}}{n}\)之值為　　　。
[解答]
先以等比級數求和公式，化簡分子得
分子＝\(\displaystyle\frac{(1+\frac{3}{n})((1+\frac{3}{n})^{2n}-1)}{(1+\frac{3}{n})-1}=\frac{(1+\frac{3}{n})((1+\frac{3}{n})^{2n}-1)}{\frac{3}{n}}\)

原式=\(\displaystyle\frac{1+\frac{3}{n}}{3} \cdot ((1+\frac{3}{n})^{2n}-1)=\frac{1+\frac{3}{n}}{3} \cdot ((1+\frac{3}{n})^{\frac{n}{3}\cdot 6}-1)\)

又
\(\displaystyle\lim_{n \to ∞}\frac{1+\frac{3}{n}}{3}=\frac{1}{3} \)，\(\displaystyle\lim_{n \to ∞}(1+\frac{3}{n})^{\frac{n}{3}\cdot 6}=e^6\)

所求=\(\displaystyle\frac{1}{3} \cdot (e^6-1)\)

114.5.6補充
試求極限值\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\left(\frac{n+1}{n}\right)+\left(\frac{n+1}{n}\right)^2+\ldots+\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}{n}=\)　　　。
(114師大附中二招，https://math.pro/db/thread-3989-1-1.html)

想請教9、13、16，謝謝

第 9 題
直線 AB：y = m(x - 6)
直線 CD：y = mx + 8

直線 BC：y = (-1/m)(x - 6) + 6
直線 DA：y = (-1/m)(x + 5) + 4

兩平行線直線 AB 和 CD 的距離 = |6m + 8| / √(m^2 + 1)
兩平行線直線 BC 和 DA 的距離 = |11/m + 2| / √(1/m^2 + 1)

|6m + 8| / √(m^2 + 1) = |11/m + 2| / √(1/m^2 + 1)
(6m + 8)^2 / (m^2 + 1) = (11/m + 2)^2 / (1/m^2 + 1)
(6m + 8)^2 = (2m + 11)^2
6m + 8 = 2m + 11，m = 3/4 or 6m + 8 = -(2m + 11)，m = -19/8 (不合)

所求 = (6m + 8)^2 / (m^2 + 1) = 100

引用:

原帖由 LookBack 於 2025-5-1 17:20 發表
想請教9、13、16，謝謝

#16
O(a,6,3)代入E:2x+y-2z=8
得2a+6-6=8 ,a=4
假設A(4,b.c)
向量OA=(4,b,c)-(4,6,3)=(0,b-6,c-3)
且垂直向量n=(2,1,-2),得b-6-2c+6=0,b=2c
所以向量OA=(0,2c-6,c-3)
假設向量OA 與L的方向向量=(1,2,2)夾角為θ
則|cosθ|=|2(2c-6)+2(c-3)| / [(√5)*|c-3|*3] =2/√5
cosθ=2/√5或 -2/√5 ,又d(O,L)=6
所以OA=√5*√(c-3)² =6√5
|c-3|=6,c=9或-3
(a,b,c)=(4,18,9)或(4,-6,-3)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2025-5-1 22:05 編輯 ]

第 13 題
作 CE 垂直 AB 於 E，作 DF 垂直 AB 於 F
易求出 CE = DF = 4
BE = 3，AF = 2

△BPN 和 △BCE 相似
令 BP = 5x，則 BN = 3x，PN = 4x
△BPN = 6x^2

△APM 和 △ADF 相似
AP = 10 - 5x，AM = (10 - 5x) / √5，PM = 2(10 - 5x) / √5
△APM = [(10 - 5x)^2] / 5

△APM + △BPN = [(10 - 5x)^2] / 5 + 6x^2 = 11x^2 - 20x + 20
x = 10/11 時，有最小值 120/11

[ 本帖最後由 thepiano 於 2025-5-1 22:56 編輯 ]

感謝兩位老師的詳細回覆，收獲滿滿！

想請教各位老師一下第20題，謝謝！！