題目和答案如附件

1.已知一三角形三高長為31，51，71，求此三角形面積為。
[出處，97高中數學能力競賽　台中區筆試二試題]

3.若f(x)=x4−3x2+4+x4−3x2−8x+20 ，則f(x)的最小值為。

88高中數學能力競賽　台北市筆試二試題
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2000_Taiwan_High_TaipeiCity_02.pdf
95台中高農，h ttp://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=41421
96彰師附工，
97文華高中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781
都考過這題


4.ABCD為正方形，P為內部一點，PA=3，PB=42 ，PD=52 ，求正方形ABCD的面積為。
[提示]
將△PAB以A點順時針旋轉90o，B點和D點重合

已知E為正方形ABCD內部一點，AE=1，BE=5，CE=7，求正方形ABCD的邊長？
(97玉井商工，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48752)

101.10.31補充
已知P為正方形ABCD內部一點，若AP=10 、BP=2 、CP=2 ，則正方形ABCD的面積為　　　平方單位
(101北區學測第二次模擬考)


7.求  699+799+899 除以 343 的餘數？

試求49除698+898的餘數
(94高中數學能力競賽　高屏區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... igh_Pingtung_02.pdf


11.求x2−4xy+6y2−2x−20y=29的正整數解共幾組。
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3795

求方程式x2−xy+y2+x−2y=0的全部整數解。
(建中通訊解題　第50期)

滿足a2+b2−a−8b−2ab+16=0且0ab100的正整數ab中，a的最大值為何？
(91高中數學能力競賽　桃竹苗區筆試二試題)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... High_HsinChu_02.pdf

試求方程式x+yx2−xy+y2=73的所有整數解(xy)
95嘉義高工，95基隆高中，https://math.pro/db/thread-865-1-3.html


12.一橢圓兩焦點為F1(−35)，F2(−109)且與y=x相切，求橢圓的長軸長

我的教甄準備之路　圓錐曲線的光學性質
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1807


14.對於任何一個三位數n，定義f(n)為n的三個數字和加上兩兩乘積再加上三個數字的乘積。求使得nf(n)=1的三位數共幾個？
[出處，建中通訊解題　第73期]
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=3795


101.6.24補充
16.
設方程式x4+x+1=0的四個複數根為r1r2r3r4，若P(x)=x2−3，則 P(r_1) \times P(r_2) \times P(r_3) \times P(r_4)

若 x^4+x+1=0 之四根為 r_1,r_2,r_3,r_4 ，又 p(x)=x^2-2 ，求 p(r_1) \times p(r_2) \times p(r_3) \times p(r_4)
(101新化高中，https://math.pro/db/thread-1428-1-1.html)

提供我的方法
令 t=x^2 ， t^2+\sqrt{t}+1=0 ， \sqrt{t}^2=-(t^2+1)^2
t^4+2t^2-t+1=0 是四根平方後的方程式
令 u=t-3 ， t=u+3 代入得 (u+3)^4+2(u+3)^2-(u+3)+1=0
u^4+12u^3+56u^2+119u+97=0 是四根平方再減3的方程式
四根之積為97

看起來還是weiye的方法比較好