can you help me about the Q4,Q5,Q7?
thanks.

第 5  題，

設 uv 均為實數，則 5cosu+2v−52+11sinu−5v−22  之最小值為何？

解答：

令 P5cosu11sinuQ5−2v5v+2 ，則

P 在橢圓 :5x2+y211=0 上， Q 在直線 L:5x+2y−29=0 上，

題目要求 PQ2 的最小值，

先求出平行 L 且與 相切的兩直線 y=−25x5−252+115x+2y13=0 

可得 PQ 的最大值 52+22−29−13=4229 與最小值 52+22−29+13=1629，

故，PQ2 的最大值為291764 ，最小值為 29256

解完才發現，原來以前有解過了。　＝＝
請見： https://math.pro/db/thread-59-1-1.html









第 7 題，

設 xy 為整數，xy 且滿足方程式 x+yx2−xy+y2=73，求數對 xy 。


解答：

x+yx2−xy+y2=733x2−3xy+3y2−7x−7y=03x2−(3y+7)x+(3y2−7y)=0

因為 x 的一元二次方程式有實數解，

所以判別式 3y+72−433y2−7y0921−143y921+143 

−036y502y=01234 或 5，帶入題目所給之方程式，解 x，若解出來的 x 為整數且滿足 xy 的就是答案。









第 4 題，

設 abc 為任意三正數，令 a1=3a+b+cb1=3abcc1=3a1+1b+c1，

對所有自然數 i 滿足 ai+1=3ai+bi+cibi+1=3aibicici+1=31ai+1bi+1ci

試証：

(1)　anbncn

(2)　limnan=limnbn=limncn


此題跟 https://math.pro/db/thread-420-1-1.html 這題還蠻像的。


證明：

(1)　因為 abc 皆為正數，由定義可知對意自然數 n，anbncn 皆為正數。

　　由算幾不等式，可得 an+1=3an+bn+cn3anbncn=bn+1 ，

　　且 cn+1=31an+1bn+1cn3331an1bn1cn=3anbncn=bn+1，

　　故，an+1bn+1cn+1


(2)　由 (1)，可得 an+1=3an+bn+cn3an+an+an=an

　　且 cn+1=31an+1bn+1cn31cn+1cn+1cn=cn，

　　亦即　an 為遞減數列，cn 為遞增數列。

　　對任意自然數 n，可得 a1ancnc1，

　　因此，an 為遞減數列且有下界，cn 為遞增數列且有上界，

　　故，\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n,\,\lim_{n\to\infty}c_n 皆存在。


　　由  \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n+c_n}{3}\Rightarrow b_n=3a_{n+1}-a_n-c_n，

　　因為 \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n,\,\lim_{n\to\infty}c_n 皆存在，所以 \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n 亦存在.



　　令 \displaystyle \alpha=\lim_{n\to\infty} a_n, \beta=\lim_{n\to\infty} b_n, \gamma=\lim_{n\to\infty} c_n，則

　　\displaystyle \alpha=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3},\, \beta=\sqrt[3]{\alpha\beta\gamma},\, \gamma=\frac{3}{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}}

　　\displaystyle \Rightarrow 2\alpha=\beta+\gamma,\,\beta^2=\alpha\gamma,\,\frac{2}{\gamma}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}

　　由前兩式 \displaystyle 2\alpha=\beta+\gamma,\,\beta^2=\alpha\gamma，消去 \gamma，

　　可得 2\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=0 \Rightarrow \left(2\alpha+\beta\right)\left(\alpha-\beta\right)=0

　　\displaystyle \alpha=-\frac{\beta}{2} （不合，因為 \alpha, \beta 皆非負）　或 \alpha=\beta，

　　\alpha=\beta 帶回 2\alpha=\beta+\gamma，可得 \alpha=\beta=\gamma，

　　亦即，\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}c_n.

試求方程式 \displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7} 的所有整數解 (x,y) 。
(94學年度高中數學能力競賽　決賽獨立研究(一)試題，2005TRML團體賽，95嘉義高工，建中通訊解題第64期)
連結已失效h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Indp_01.pdf
(99萬芳高中，https://math.pro/db/thread-969-1-1.html)

114.4.30補充
已知x,y為自然數，若\displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7}，試求出所有的數對(x,y)。
(114彰化女中，https://math.pro/db/thread-3984-1-1.html)