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95基隆高中

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can you help me about the Q4,Q5,Q7?
thanks.

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國立基隆高中95學年度第2次教師甄試初試數學科題目卷.pdf (156.37 KB)

2009-9-15 10:47, 下載次數: 10562

國立基隆高中95學年度第2次教師甄試初試數學科題目卷

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第 5  題,

uv 均為實數,則 5cosu+2v52+11sinu5v22  之最小值為何?

解答:

P5cosu11sinuQ52v5v+2 ,則

P 在橢圓 :5x2+y211=0 上, Q 在直線 L:5x+2y29=0 上,

題目要求 PQ2 的最小值,

先求出平行 L 且與 相切的兩直線 y=25x5252+115x+2y13=0 

可得 PQ 的最大值 52+222913=4229 與最小值 52+2229+13=1629

故,PQ2 的最大值為291764 ,最小值為 29256

解完才發現,原來以前有解過了。 ==
請見: https://math.pro/db/thread-59-1-1.html









第 7 題,

xy 為整數,xy 且滿足方程式 x+yx2xy+y2=73,求數對 xy 


解答:

x+yx2xy+y2=733x23xy+3y27x7y=03x2(3y+7)x+(3y27y)=0

因為 x 的一元二次方程式有實數解,

所以判別式 3y+72433y27y0921143y921+143 

036y502y=012345,帶入題目所給之方程式,解 x,若解出來的 x 為整數且滿足 xy 的就是答案。











第 4 題,

abc 為任意三正數,令 a1=3a+b+cb1=3abcc1=3a1+1b+c1

對所有自然數 i 滿足 ai+1=3ai+bi+cibi+1=3aibicici+1=31ai+1bi+1ci

試証:

(1) anbncn

(2) limnan=limnbn=limncn


此題跟 https://math.pro/db/thread-420-1-1.html 這題還蠻像的。


證明:

(1) 因為 abc 皆為正數,由定義可知對意自然數 nanbncn 皆為正數。

  由算幾不等式,可得 an+1=3an+bn+cn3anbncn=bn+1 

  且 cn+1=31an+1bn+1cn3331an1bn1cn=3anbncn=bn+1

  故,an+1bn+1cn+1


(2) 由 (1),可得 an+1=3an+bn+cn3an+an+an=an

  且 cn+1=31an+1bn+1cn31cn+1cn+1cn=cn

  亦即 an 為遞減數列,cn 為遞增數列。

  對任意自然數 n,可得 a1ancnc1

  因此,an 為遞減數列且有下界,cn 為遞增數列且有上界,

  故,\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n,\,\lim_{n\to\infty}c_n 皆存在。


  由  \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+b_n+c_n}{3}\Rightarrow b_n=3a_{n+1}-a_n-c_n

  因為 \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n,\,\lim_{n\to\infty}c_n 皆存在,所以 \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n 亦存在.



  令 \displaystyle \alpha=\lim_{n\to\infty} a_n, \beta=\lim_{n\to\infty} b_n, \gamma=\lim_{n\to\infty} c_n,則

  \displaystyle \alpha=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3},\, \beta=\sqrt[3]{\alpha\beta\gamma},\, \gamma=\frac{3}{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}}

  \displaystyle \Rightarrow 2\alpha=\beta+\gamma,\,\beta^2=\alpha\gamma,\,\frac{2}{\gamma}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}

  由前兩式 \displaystyle 2\alpha=\beta+\gamma,\,\beta^2=\alpha\gamma,消去 \gamma

  可得 2\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=0 \Rightarrow \left(2\alpha+\beta\right)\left(\alpha-\beta\right)=0

  \displaystyle \alpha=-\frac{\beta}{2} (不合,因為 \alpha, \beta 皆非負) 或 \alpha=\beta

  \alpha=\beta 帶回 2\alpha=\beta+\gamma,可得 \alpha=\beta=\gamma

  亦即,\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}c_n.

多喝水。

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試求方程式 \displaystyle \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}=\frac{3}{7} 的所有整數解 (x,y)
(94學年度高中數學能力競賽 決賽獨立研究(一)試題,2005TRML團體賽,95嘉義高工,建中通訊解題第64期)
h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Indp_01.pdf 連結已失效

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2009-10-10 07:09

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