第一部分：選擇題
一、單選題
1.
設\(n=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{64}+1)(2^{128}+1)\)，則\(n\)的整數部分是幾位數？
(A)75 (B)76 (C)77 (D)78。
(我的教甄準備之路 多項式連乘，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2045)
2.
兩平面向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)，已知\(|\vec{a}|=|\vec{b}|=1\)，且\(\vec{a},\vec{b}\)夾角為\(120^\circ\)，下列哪一個選項數值最大？
(A)\(|\vec{a}+\vec{b}|\) (B)\(|\vec{a}-\vec{b}|\) (C)\(|\vec{a}|\) (D)\(\sqrt{2}|\vec{b}|\)。
3.
坐標平面上三角形\(ABC\)的三個頂點中，\(A(-4,0)\)，\(C(4,0)\)，且另一頂點\(B\)在橢圓\(\displaystyle\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，\(\displaystyle\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}\)為何？
(A)\(\displaystyle\frac{1}{3}\) (B)\(\displaystyle\frac{2}{3}\) (C)\(\displaystyle\frac{3}{4}\) (D)\(\displaystyle\frac{5}{4}\)。
4.
在直線\(L\)：\(2x+3y=7\)上，且位於圓\(C\)：\(x^2+y^2=73\)內部的格子點個數為何？
(A)4個 (B)5個 (C)6個 (D)7個。
5.
若\(\displaystyle\frac{n!}{12^{20}}\)為整數，則正整數\(n\)的最小值為？
(A)45 (B)48 (C)60 (D)64。
6.
平面上有36條兩兩相互不平行的直線，在這些直線所形成的所有交角中，最小角的角度為\(\theta\)，則\(\theta\)的最大值為？
(A)\(5^\circ\) (B)\(6^\circ\) (C)\(8^\circ\) (D)\(10^\circ\)。
7.
箱子中有100顆球，其中有25顆黑球、25顆白球、25顆紅球與25顆黃球，任意取出\(k\)顆球，若希望取出的球中一定有10顆(或以上)同色的球，則\(k\)的最小值為何？
(A)36 (B)37 (C)40 (D)41。
8.
設\(n\)為正整數，若\(n^n\)為\(n\)位數，則滿足條件的\(n\)有幾個？（已知\(\log2\approx0.3010,\log3\approx0.4771,\log7\approx0.8451\)）
(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)無限多個。
9.
設數列\(\langle a_n\rangle\)的一般項\(a_n=\sqrt{n^2+n}-n\)，則\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=?\)
(A)0 (B)\(\displaystyle\frac{1}{2}\) (C)1 (D)不存在。
10.
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=?\)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)不存在。
求\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\ldots\)之值。
(99高中數學能力競賽 嘉義區複賽試題二，
https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html)
11.
設函數\(\displaystyle f(x)=\int_0^{x^2}\sqrt{t^2+1}dt\)，則\(f'(1)=?\)
(A)\(\sqrt{2}\) (B)\(2\sqrt{2}\) (C)4 (D)\(4\sqrt{2}\)。
二、多選題
12.
下列有關指數與對數函數的選項，請選出正確的選項。
(A)對所有實數\(t\)，指數方程式\(10^x=t\)恆有解。
(B)對所有實數\(s\)，對數方程式\(\log x=s\)恆有解。
(C)底數\(a>1\)的指數函數\(y=a^x\)與對數函數\(y=\log_{a}x\)的圖形一定相交。
(D)若\(a>1\)，\(y=a^x\)與直線\(x+y=5\)相交於點\((2,3)\)，則\(y=\log_ax\)與直線\(x+y=5\)相交於點\((3,2)\)。
13.
不等式\(x(x-2)(x+3)\le0\)的解與下列那些相同？
(A)\(x(x-2)^3(x+3)(x^2+1)\le0\)。
(B)\((x^2+x-6)(x^5+6x^3+9x)\le0\)。
(C)\(x^2(x-2)(x+3)\le0\)。
(D)\(x^2(x^2+x-6)\le0\)。
14.
坐標空間中一平面與\(E_1\)：\(2x-y+z=5\)，\(E_2\)：\(x+y+2z=4\)分別交於直線\(L_1\)、\(L_2\)。已知\(L_1\)、\(L_2\)互相平行，且\(L_1\)通過點\(P(3,0,-1)\)、\(L_2\)通過點\(Q(1,1,1)\)，若直線\(L\)為平面\(E_1\)、\(E_2\)的交線，則下列哪些正確？
(A)平面\(E_1\)、\(E_2\)的銳夾角為\(60^\circ\)。
(B)直線\(L_1\)的方程式\(x-3=-y=z+1\)。
(C)點\(P\)到直線\(L\)的距離為\(\sqrt{2}\)。
(D)直線\(PQ\)到直線\(L\)的距離為\(\sqrt{2}\)。
15.
已知實係數多項式\(f(x)\)最高次項係數為正。又\(f(x)\)在\(x=1、4\)處有極小值，且在\(x=3\)處有極大值。根據上述條件，試選出正確的選項。
(A)\(f(1)<f(3)\)。
(B)存在實數\(a,b\)滿足\(1<a<b<3\)，使得\(f'(a)>f'(b)\)。
(C)\(f''(1)>0\)。
(D)\(f(x)\)的次數可能為5。
16.
從1到20的正整數當中任意選取數字，試選出正確的選項。
(A)選三個數字，此三數可以形成等差數列的情形有90種。
(B)選三個數字，此三數乘積為4的倍數的情形有570種。
(C)選四個數字，此四數可以形成等差數列的情形有63種。
(D)選四個數字，此四數乘積為4的倍數的情形有4035種。
17.
設\(\displaystyle\omega=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5}\)，其中\(i=\sqrt{-1}\)，試選出正確的選項。
(A)\((\omega-1)(\omega^2-1)(\omega^3-1)(\omega^4-1)=1\)。
(B)\((\omega+1)(\omega^2+1)(\omega^3+1)(\omega^4+1)=1\)。
(C)\(\displaystyle\frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega^3}+\frac{1}{\omega^4}=2\)。
(D)\(\displaystyle\frac{1}{\omega+1}+\frac{1}{\omega^2+1}+\frac{1}{\omega^3+1}+\frac{1}{\omega^4+1}=2\)。
第二部分：綜合題
一、填充題
1.
設\(a>0\)，若\(xy-3x+y=0\)，且\(a^x=10^y=8\)，則\(a=\)
。
2.
定積分\(\displaystyle\int_{-1}^7(-2+\sqrt{-x^2+6x+7})dx=\)
。
(1)描繪出函數\(y=-2+\sqrt{-x^2+6x+7}\)的圖形。
(2)求定積分\(\displaystyle \int_{-1}^7 -2+\sqrt{-x^2+6x+7}dx\)。(請試以高中理科數學所教定積分與面積關係解之)
(89高中數學能力競賽 高屏區，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514)
3.
若實數\(a\)可以讓複數\(z=(3a+\cos\theta)+(a-\sin\theta)i\)滿足：對任意實數\(\theta\)，\(|z|\le3\)均成立，則實數\(a\)的範圍為
。
4.
對任意實數\(x\)，函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x+2)=\frac{f(x)-1}{f(x)+1}\)，若\(f(1)=2,f(2)=-3\)，則\(f(118)=\)
。
5.
設\(a\)為實數，若方程式\((|x+5|-1)(x+2)=a\)有三個相異實根，則\(a\)的範圍為
。
6.
現有15個糖果，甲、乙兩人輪流拿糖果，每次只能拿1個或2個，拿完為止。若由甲先拿，且最後一次也由甲拿完剩餘糖果，則兩人拿糖果過程的可能情形有
種。
7.
設\(A,B,C\)為平面上三點，若\(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2,\vec{BA}\cdot\vec{BC}=4,\vec{CA}\cdot\vec{CB}=6\)，則\(\triangle ABC\)的面積為
。
二、證明題
1.
試用兩種高一同學可理解方法證明：\(\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。
Demonstration of Siu's Proof Without Words 2.0
https://www.youtube.com/watch?v=C1wSh6dBaz0
2.
坐標平面上，設\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)為拋物線\(y=ax^2\)上的相異兩點，且過\(A\)作此拋物線的切線為\(L_1\)，過\(B\)作此拋物線的切線為\(L_2\)。若\(L_1\)和\(L_2\)交於點\(P(x_3,y_3)\)，試證明\(\displaystyle x_3=\frac{x_1+x_2}{2}\)。
3.
設\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)是三角形\(ABC\)的三個內角，證明\(\displaystyle\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\)。
試證明在三角形\(ABC\)中，求\(cosA\cdot cosB\cdot cosC\)的最大值為\(\displaystyle \frac{1}{8}\)。
(類似問題
https://math.pro/db/thread-1516-1-1.html)
