若A+B+C=180度
如何證明
cosA cosB cosC<=(1/8)

謝謝

試過"積化和差",算不出來
請教版上高手

之前寫過，但方法不是很漂亮，參考就好了，期待樓下證得更簡潔一點

當 ABC  為鈍角三角形或直角三角形時，cosAcosBcosC081 ，不等式成立。

若 ABC  為銳角三角形，則 cosAcosBcosC0 。

由算幾不等式得 cosAcosBcosC(3cosA+cosB+cosC)3

而 cosA+cosB=2cos2A+Bcos2A−B2cos(90−2C)=2sin2C 。

故有 cosA+cosB+cosC2sin2C+cosC=2sin2C+1−2sin22C=−2(sin2C−21)2+2323 。

綜合以上得 cosAcosBcosC(21)3=81，等號成立條件為 sin2C=21  且 A=B  。

又 ABC  為銳角三角形，故此即為 A=B=C=60ABC   為正三角形之時，等號才會成立。


上面的方法有點小瑕疵，是針對三角形 ABC 的三內角，而非任意的 A+B+C=180

113.5.31補充
試證明在三角形ABC中，求cosAcosBcosC的最大值為81。
(113華江高中，https://math.pro/db/thread-3880-1-1.html)

若 ABC  為銳角三角形，
則 cosAcosBcosC(3cosA+cosB+cosC)3  (cos3A+B+C)3  81  

謝謝
tsusy老師與李老師

這個問題我當時有想過算幾不等式
不過在書中(高中數學競賽教程P.162)
所提到只是三角形ABC
所以....

再次感謝你們

另解,請參考，
若 ABC  為銳角三角形，
以下請自行作圖，作三角形的三高,AD,BE,CF，令AF,FB,BD,DC,CE,EA依序為a,b,c,d,e,f，
則 cos2Acos2Bcos2C=ae+ffa+bbc+dca+bde+fec+d=ab(a+b)2cd(c+d)2ef(e+f)2164

引用:

原帖由 cplee8tcfsh 於 2012-12-21 09:55 AM 發表
另解,請參考，
若 ABC  為銳角三角形，
以下請自行作圖，作三角形的三高,AD,BE,CF，令AF,FB,BD,DC,CE,EA依序為a,b,c,d,e,f，
則 cos2Acos2Bcos2C=ae+ffa+bbc+d ...

謝謝 李老師

想通了,好方法
謝謝