109中科實中國中部

2.
設f(x)=2x+22x−2，求2020n=1f(n1010)= 　　　。
[提示]
f(x)+f(2−x)=0

3.
求limnnk=17k+6k(k+1)(k+2) 之值為　　　。
[提示]
待定係數法
設7k+6k(k+1)(k+2)=ak+bk(k+1)−a(k+1)+b(k+1)(k+2)，得a=7b=3

7k+6k(k+1)(k+2)=7k+3k(k+1)−7k+10(k+1)(k+2)

設7k+3k(k+1)=ka−bk+1，得a=3b=−4

7k+3k(k+1)=k3+4k+1

設7k+10(k+1)(k+2)=ak+1−bk+2，得a=3b=−4

7k+10(k+1)(k+2)=3k+1+4k+2

7k+6k(k+1)(k+2)=7k+3k(k+1)−7k+10(k+1)(k+2)=k3+4k+1−3k+1+4k+2=k3−3k+1+4k+1−4k+2 
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

求值：k=11k3+8k2+15k= 　　　。
(106全國高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=2#pid17282)

4.
設A表質因數為2或3或5的所有正整數所形成的集合。集合A中，所有元素的倒數之和為無窮級數
21+31+41+51+61+81+91+110+112+115+116+118+120+，求此級數的總和為　　　。
(請化至最簡分數，否則不予計分)


設A表質因數至多為2或3或5的所有正整數所形成的集合。A中所有元素的倒數之和為無窮級數
11+21+31+41+51+61+81+91+110+112+115+116+118+120+
若此總和可以表示為nm，其中mn為互質的正整數，則m+n=？
(A) 16　　(B) 17　　(C) 19　　(D) 23　　(E) 36
(2018AMC12A，https://math.pro/db/thread-2917-1-1.html)

5.
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　　☐☐☐☐
一個房間的地面是由24個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或☐☐。則用12塊磁磚舖滿房間地面的方法有　　　的舖法。

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☐☐
一個房間的地面是由12個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或☐☐。則用6塊磁磚撲滿房間地面的方法有　　　種。
(103學測，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1793&page=1#pid9544)

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一個房間的地面是由16個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或☐☐。則用8塊磁磚舖滿房間地面的方法有　　　種。
(臺中區國立高中104 學年度第二次學測模擬考，https://math.pro/db/redirect.php ... amp;goto=nextoldset)

11.
若xyz，解x+y+z=10x2+y2+z2=38x3+y3+z3=154，求數對(xyz)=　　　。
(我的教甄準備之路　利用根與係數的關係解聯立方程式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076)

12.
設數列an=1+12+13++1n，求limnann=　　　。
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

計算證明題
1.
數列\langle\;a_n\rangle\;滿足a_1=1、\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})，求此數列的一般項a_n。
[解答]
令b_n=\sqrt{1+24a_n}，則\displaystyle a_n=\frac{1}{24}(b_n^2-1)
故\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{24}(b_{n+1}^2-1)，代入\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})得
\displaystyle \frac{1}{24}(b_{n+1}^2-1)=\frac{1}{16}[1+4\cdot \frac{1}{24}(b_n^2-1)+b_n]即4b_{n+1}^2=(b_n+3)^2
因為b_n=\sqrt{1+24a_n}\ge 0，故b_{n+1}=\sqrt{1+24a_{n+1}}\ge 0則2b_{n+1}=b_n+3，即\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{3}{2}
可化為\displaystyle b_{n+1}-3=\frac{1}{2}(b_n-3)，
所以\{\;b_n-3 \}\;是以b_1-3=\sqrt{1+24a_1}-3=\sqrt{1+24 \cdot 1}-3=2為首項，以\displaystyle \frac{1}{2}為公比的等比數列，
因此\displaystyle b_n-3=2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}，則\displaystyle b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+3，即\displaystyle \sqrt{1+24a_n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+3，
得\displaystyle a_n=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^n+\left(\frac{1}{2}\right)^n+\frac{1}{3}。
其他方法請見
求遞推數列通項公式的十種策略例析，https://math.pro/db/attachment.p ... 34&t=1593040418

111.4.19補充
111高雄女中也考相同題目，https://math.pro/db/thread-3624-1-1.html

類似題
數列\langle\;a_n\rangle\;滿足a_1=1,a_{n+1}=1+a_n+\sqrt{1+4a_n}(n\ge 1)，
而數列\langle\;b_n\rangle\;定義為b_n=\sqrt{1+4a_n}。
(1)問：數列\langle\;b_n\rangle\;為何種數列？
(2)求數列\langle\;a_n\rangle\;的一般項公式。
(105高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試一試題，https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html)

3.
投擲兩粒公正的骰子，當點數和為7時，可得100元獎金，並取得繼續投擲的權利，若第二回又擲出點數和為7，可再得100元並可繼續投擲，如此繼續進行，設X 表示此人所得獎金數，試求：
(1)E(X)=？
(2)Var(X)=？

雅妮參加擲骰子比賽，遊戲規則如下：每次投擲二顆相同的公正骰子，
(1)若擲出點數和為7點，可得獎金100元，並可以繼續投擲；若再擲出點數和為7點，則再得100元，並可以繼續投擲，以此類推，
(2)若擲出點數和不是7點，則得30元，並結束比賽。
則雅妮參賽的獎金期望值為　　　。
thepiano解題，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3012
(102文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1579&page=5#pid7975)