104新北市高中聯招

選擇1.
設S=12345678910，m表示S中任意兩個非空互斥子集合的總對數，若m除以10000的餘數為四位數abcd，則a+b+c+d之值為何？
(A)13　(B)13　(C)12　(D)10
(2002AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... _Problems/Problem_9)


填充1.
已知P為正方形ABCD內部一點，若AP=7，BP=5，CP=1，則正方形ABCD之面積為？
(95北港高中，97玉井工商，100彰化藝術高中暨田中高中都考過這題)
(weiye解題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973)


填充7.
已知存在一正整數n，使得n10cos5310n+1。求n=？
[解]
f(x)=cos(x)的泰勒展開式為f(x)=1−2!x2+4!x4，f(53)=08254
因為題目只要小數點以下第一位，所以代f(x)=1−2!x2，f(53)=082也是正確的

72是特別角，所以有特別的方法
若n1002cos72100n+1，nN，則n=
(99建國中學，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=968&page=1#pid2218)


填充8.
設正實數x、y、z滿足x=y2−149+z2−149 ，y=x2−164+z2−164 ，z=x2−181+y2−181 ，則x+y+z=？

設實數x、y、z滿足，x=y2−116+z2−116y=z2−125+x2−125z=x2−136+y2−136，且x+y+z=mn，其中m、n是正整數，且n不能被任何質數的平方整除，試求 m+n 之值。
(2006AIME，http://www.artofproblemsolving.c ... Problems/Problem_15)


填充10.
在環 Z[x] 上，因式分解 x^5+x^4+4x^3+7x^2+9x+18

方程式 2x^5-8x^4+3x^3+13x^2-3x-3=0 ，方程式的最大實根為？
(101松山工農，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7644)


104.7.5補充
填充4.
已知 \alpha>0 ，且 \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} 為一正整數，求 \alpha= ？
(出自99高中數學能力競賽　第二區(新店高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-1051-1-1.html)

104.12.6補充
填充5.
假設 a=\sqrt{2}+1 、 \displaystyle b=\frac{sin \frac{7}{16}\pi}{sin \frac{3}{16}\pi} 、 \displaystyle b=\frac{sin \frac{5}{16}\pi}{sin \frac{1}{16}\pi} 。比較 a,b,c 大小為何？
(出自100高中數學能力競賽　第二區(新店高中)口試試題，https://math.pro/db/thread-1349-1-9.html)