1.(2)
若點D、E、F依序為△ABC三邊
BC、
AC、
AB三邊的垂足，求證：△ABC的垂心等於△DEF的內心
(97松山家商，
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554#9)
2.
ABCD為圓內接四邊形，四邊邊長依序為a、b、c、d，請證明ABCD的面積為
S(a
bcd)=41
(a+b+c−d)(a+b+d−c)(a+c+d−b)(b+c+d−a)
(蔡聰明，四邊形的面積，數學傳播，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434)
一圓柱體高20、底面圓半徑6，若有一平面通過底面圓心且和底面夾角
60
，試求較小部分的體積為？
(101中和高中，
https://math.pro/db/thread-1378-1-4.html)
空間中，
x2+y2=32，
z=0及
x−z=0所圍成封閉區域的體積為何？
(101彰化高中，thepiano解題
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&t=2816#p7604)
你可以先看這題thepiano的解法，再來看以下的說明會更容易了解。
103.5.31補充
已知一圓柱體的半徑為6，有一平面E與圓柱夾
30且通過圓柱直徑，試求平面E與圓柱所截兩塊體積中較小的體積
(103武陵高中，
https://math.pro/db/thread-1902-1-1.html)
7.
有一半徑為
2
2 ，高為
23 的圓柱體被一平面所截。已知平面截過圓柱體底面的圓心且與底面夾
60角，試求：此圓柱體被平面所截之較小部份的體積。
[解答]
| 1.當AB=23 時， ABC為最大的直角三角形，之後就是梯形了。
ABC為直角三角形，∠ACB=60，AB=23 ，得到BC=2
又OB=22 ，∠OCB=90，得到OC=2。
所以當2 x22 ，−22x−2 時，截面形狀為直角三角形。
當−2x+2時，截面形狀為梯形。
|
| 2.當2x22 ，−22x−2 時
截面形狀為直角三角形ABC
OB=22 ，OC=x得到BC=8−x2
又ABC為直角三角形，∠ACB=60，得到AB=38−x2
\Delta ABC 的面積 \displaystyle =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8-x^2} \cdot \sqrt{3} \sqrt{8-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2)
體積 \displaystyle =2 \int_2^{2 \sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2)dx=\frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3} |
| 3.當 -2 \le x \le +2 時，截面形狀為梯形ABCD
\overline{OB}=2 \sqrt{2} ， \overline{OC}=x 得到 \overline{BC}=\sqrt{8-x^2}
又 \overline{AB}=2 \sqrt{3} ， ∠DCB=60^\circ ，得到 \overline{BC}=2+\overline{AD} ， \overline{AD}=\sqrt{8-x^2}-2 。
梯形面積 \displaystyle =\frac{\overline{AB}}{2}(\overline{AD}+\overline{BC})=2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1)
體積 \displaystyle =2 \int_0^2 2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1)dx=4 \sqrt{3} \pi
|
\displaystyle \int_0^2 (\sqrt{8-x^2}-1) dx 可以轉換成橘色區域面積
面積=扇形OAB+直角三角形OAC-長方形=
\pi
總共的體積為
\displaystyle \frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3}+4 \sqrt{3} \pi
[
本帖最後由 bugmens 於 2014-5-31 04:51 AM 編輯 ]
