102中正高中

計算3.
設a+b+c=3，a2+b2+c2=45
(1)求a2(a−b)(a−c)+b2(b−a)(b−c)+c2(c−a)(c−b)=？
(2)求a4(a−b)(a−c)+b4(b−a)(b−c)+c4(c−a)(c−b)=？
[解答]
(1)
假設f(x)=(x−a)2(a−b)(a−c)+(x−b)2(b−a)(b−c)+(x−c)2(c−a)(c−b)
deg(f(x))2
f(a)=(a−b)2(b−a)(b−c)+(a−c)2(c−a)(c−b)=a−b−(b−c)+a−c−(c−b)=1
同理f(b)=1，f(c)=1，可知xR，f(x)=1
f(0)=a2(a−b)(a−c)+b2(b−a)(b−c)+c2(c−a)(c−b)=1

這個方法卻無法應用在(2)小題
(2)
a4(a−b)(a−c)+b4(b−a)(b−c)+c4(c−a)(c−b)
=(a−b)(b−c)(c−a)−a4(b−c)−b4(c−a)−c4(a−b)
用數學軟體因式分解可得
=(a−b)(b−c)(c−a)(a−b)(b−c)(c−a)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)
=a2+b2+c2+ab+bc+ca
=45+(−18)=27

thepiano的解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021


類題
Simplify：a3(a−b)(a−c)+b3(b−a)(b−c)+c3(c−a)(c−b)
(USA Stanford Mathematics Tournament 2006，http://www.artofproblemsolving.c ... d=166&year=2006)
[答案]
a+b+c

a、b、c為相異三實數，試證xR，(x−a)2(b−a)(c−a)+(x−b)2(c−b)(a−b)+(x−c)2(a−c)(b−c)之值恆為一常數。
(79夜大社會組，新高中數學101修訂版p84)

104.5.2補充
若三次方程式x3−x2+2x−3=0的三個根分別為abc，則a3(a2−b2)(a2−c2)+b3(b2−a2)(b2−c2)+c3(c2−a2)(c2−b2)=　　　。
(104鳳山高中，https://math.pro/db/thread-2244-1-1.html)


計算4.
(1)設a1a2an；b1b2bn均為正數，
求證：n(a1+b1)(a2+b2)(an+bn)na1a2an+nb1b2bn 
(2)設02，求1cos3+32sin3之最小值
[提示]
(1)
na1n+nb1nna2n+nb2nnann+nbnn na1a2an+nb1b2bnn 

感謝寸絲提供的意見
但就我對這份試題的理解，該計算有兩小題，第一小題就是要我們去證廣義柯西，然後再給第二小題套。
所以如果我是出題者的話，看到考生接套廣義柯西，大概是拿不到什麼分數？

thepiano的解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021

(2)
1cos355+2sin3551cos355+2sin355 
\Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \ge \Bigg(\;1 \times 1+2 \times 2 \Bigg)\;^5

(我的教甄準備之路　廣義的科西不等式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-5-3 04:48 PM 編輯 ]