1.
9751831116223115187  9
如右圖所示，令第i行第k個數字為f(ik)，此圖中之規則為f(i1)=2i−1=f(ii)，且f(ik)=f(i−1k−1)+f(i−1k)，其中2ki−1。則f(i3)之值為？
[解答]
f(0)−33f(1)0−122f(2)2132f(3)5362  f(4)115112f(5)22718f(6)40
f(n)=−3C0n+3C1n−1C2n+2C3n
我的教甄準備之路　找出圖形的規律 有更多類題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274


6.
已知nN，且n為6的倍數，則C0n+C3n+C6n++Cnn之值為

求C0n+C3n+C6n++Cn3m−3+Cn3m，其中3m是不大於n的最大的3的倍數
神奇的複數　如何利用複數解中學數學難題P24
31(2n+2cos3n)

觀察C0n+C1n++Cnn=(C0n+C3n+C6n+)+(C1n+C4n+)+(C2n+C5n+)
令A=C0n+C3n+C6n++C3k3k，B=C13k+C43k++C3k3k−2，kN
(1)比較A與B的大小關係。
(2)計算A值。
(100桃園縣現職教師高中聯招，https://math.pro/db/thread-1106-1-1.html)


計算與證明題
1.
設ab0，則橢圓x2a2+b2y2=1之內接三角形面積最大値為何？試證之。
老王的夢田
橢圓內接面積最大三角形(上)，https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122072
橢圓內接面積最大三角形(下)，https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122069

計算2.
△ABC中，D為BC上任一點，∠BAD=，∠CAD=，∠ACD=，∠ABD=，∠ADC=t，試證：sin(+)sin(+)=sinsin+sinsin。
[提示]
我辛苦地翻書終於找到出處，想知道是如何證明的請自行查閱。
張景中,曹培生，從數學教育到教育數學p115

102.3.28補充
張景中，平面三角解題新思路p59也有這題


計算3.
已知a0=1，且an=an−11+a2n−1，其中n為任意正整數。試證：an34n，nN。

ak+1=ak1+a2k34k1+34k2=1216k+9k1216k+1
＜處，需再證：(16k+9k)−(16k+1)0
使用基本微分，即可證明

我覺得這步會有問題 \displaystyle \frac{a_k}{1+a_k^2}<\frac{\frac{3}{4 \sqrt{k}}}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2} ，因為 \displaystyle \frac{1}{1+a_k^2}>\frac{1}{1+(\frac{3}{4 \sqrt{k}})^2}

我的方法是
1.先證明 a_n>0 (自己試著證明看看)
2.數學歸納法
\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}^2}=(a_n+\frac{1}{a_n})^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}>2+\frac{16n}{9}>\frac{16(n+1)}{9}
\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}>\frac{4 \sqrt{n+1}}{3}
因為前面有證明 a_n 為正數，所以開根號不會是負的
\displaystyle a_{n+1}<\frac{3}{4 \sqrt{n+1}}
(證明的過程等號不會成立)