8.
若\( z \in C \)，\( |\; z |\;=1 \)，則\( |\; z^2-z+2 |\; \)的最小值為？
[解答]
設\( z=x+yi \)，\( x,y \in R \)則\( x^2+y^2=1 \)
\( z^2-z+2=(x+yi)^2-(x+yi)+2=(x^2-y^2-x+2)+y(2x-1)i=(2x^2-x+1)+y(2x-1)i \)
\( |\; z^2-z+2 |\;=\sqrt{(2x^2-x+1)^2-y^2(2x-1)^2}=\sqrt{(2x^2-x+1)^2+(1-x^2)(2x-1)^2} \)
\( \displaystyle =\sqrt{8x^2-6x+2}=\sqrt{8(x-\frac{3}{4})^2+\frac{7}{8}} \)
最小值\( \displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4} \)
114.6.20補充
設\(z\)為複數，若\(|\;z|\;=1\)，則\(|\;z^2-z+2|\;\)之最小值為
。
(112關西高中，
https://math.pro/db/thread-3749-1-1.html)
\(z\in \mathbb{C}\)且\(|\;z|\;=1\)，\(|\;z^2-z+1|\;\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，求\(M+m=\)
。
(106興大附中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2749&page=1#pid17004)
thepiano解題
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=1052
設\(z\)為複數，若\(|\;z|\;=2\)，則\(|\;z^2-2z+8|\;\)的最小值為
。
(106全國高中聯招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=3#pid17284)
已知\(|\;z|\;=1\)(\(z\)為複數)，求\(|\;z^3-z+2|\;\)的最大值。
(110高中數學能力競賽，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3612&page=1#pid23633)
在複數平面上，若已知\(|\;z|\;=1\)，試求\(|\;z^2+z-6|\;\)的最大值為
。
(114嘉義女中，
https://math.pro/db/thread-4008-1-1.html)
在複數平面上，設複數\(z=a+bi\)，\(a,b\in \mathbb{R}\)，且\(a^2+b^2=1\)，試求\(|\;z^2+z-6|\;\)之最大值為
。
(114桃園陽明高中，
https://math.pro/db/thread-3981-1-1.html)
在複數平面上，複數\(z\)是單位圓上的任一點，且當\(z=z_0\)時，函數\(f(z)=|\;z^2-2z+5|\;\)有最小值\(m\)，試求數對\((z_0,m)\)。
(114基隆女中，
https://math.pro/db/thread-4005-1-1.html)
已知複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=1\)，則\(|\;z-6|\;^2+|\;z+2i|\;^2\)之最小值為
。
(114文華高中，
https://math.pro/db/thread-3953-1-1.html)
複數z滿足\( |\; z |\;=1 \)，求\( |\; z^3-3z-2 |\; \)的最大值和最小值及相應的複數z。
(奧數教程高二 第5講複數的概念與運算)
