請教填充8、9、11，以及計算第1題，謝謝！

11
袋子裡有七顆球，其中1 號球三顆、2 號球四顆。以取後放回方式，每次隨機抽取兩球(每球被取到機率均等)，並記錄此兩球號碼，若兩球號碼相同，則可重複再隨機抽取兩球，直至兩球號碼不同則停止抽取，完成一輪操作。令隨機變數\(X\)表示每輪取出球號碼總和，求\(X\)的期望值=　　　 。
[解答]
E=1/7(2+E)+2/7(4+E)+4/7*3

4.
在複數平面上，設複數\(z=a+bi\)，\(a,b\in \mathbb{R}\)，且\(a^2+b^2=1\)，試求\(|\;z^2+z-6|\;\)之最大值為　　　。
(類似問題，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3600)

5.
方程式\(sin^8 x+cos^8x=m\)若有實數解，則\(m\)的範圍為　　　。

7.
已知橢圓\(\Gamma\)與雙曲線\(\Gamma_1\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)有相同焦點，且\(\Gamma\)上一點\(P\)在直線\(L\)：\(x-y+9=0\)上，若欲使橢圓\(\Gamma\)之長軸最短，此時\(\Gamma\)之方程式為　　　。

以\(x^2+4y^2=12\)的焦點為焦點，且過直線\(L\)：\(x-y+9=0\)的一點\(M\)作一橢圓。欲使橢圓的長軸最短，則橢圓的方程式為　　　。
(100北一女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1123&page=1#pid3379)

6.
已知\(\{\;a_n\}\;\)數列中，\(a_1=1\)，當\(n\ge 2\)時，其前\(n\)項和\(S_n\)滿足\(\displaystyle S_n^2=a_n\left(S_n-\frac{1}{2}\right)\)，求\(S_n\)的表達式為　　　。

9.
求與曲線\(y=x^4-2x^3+4x\)切於相異兩點的切線方程式為　　　。

坐標平面上，有一直線\(L\)和\(y=x^4-3x^2+2x+3\)相切於相異兩點，直線\(L\)的方程式為？
(113台南女中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3730&page=2#pid24828)

10.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(1^2+2^2+\ldots+n^2)}{(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots+\sqrt{n})^2}\)的值=　　　。(若發散填「不存在」)

第8題
設\(x,y\in \mathbb{R}\)滿足\(x^2+y^2-2y\le 0\)，求\(\displaystyle \frac{x+2y-5}{x-y-1}\)之最大值=　　　。
類似問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=811&page=1#pid1535
[解答]
設\(k=\frac{x+2y-5}{x-y-1}\)，得\(L: (1-k)x+(2+k)y+(-5+k)=0\)
化簡\(x^2+y^2-2y \leq 0\)，得\(x^2+(y-1)^2 \leq 1\)
若圓\(C:x^2+(y-1)^2=1\)與\(L\)相交，
則\(\frac{| (1-k)．0+(2+k)．1+(-5+k) |}{\sqrt{(1-k)^2+(2+k)^2} } \leq 1\)
化簡，得\(k^2-7k+2 \leq 0\)，即\(\frac{7-\sqrt{41}}{2} \leq k \leq  \frac{7+\sqrt{41}}{2}\)

謝謝三位老師解答！

計算第 1 題
設\(x\)、\(y\)、\(z\)為正實數，且滿足\(x+y+z=1\)，試證：\(\displaystyle \frac{x-yz}{x+yz}+\frac{y-zx}{y+zx}+\frac{z-xy}{z+xy}\le \frac{3}{2}\)
[解答]
x，y，z > 0，x + y + z = 1

令 x = tan(A/2)tan(B/2)，y = tan(B/2)tan(C/2)，z = tan(C/2)tan(A/2)

(x - yz)/(x + yz) + (y - zx)/(y + zx) + (z - xy)/(z + xy)
= (1 - yz/x)/(1 + yz/x) + (1 - zx/y)/(1 + zx/y) + (1 - xy/z)/(1 + xy/z)
= {1 - [tan(C/2)]^2}/{1 + [tan(C/2)]^2} + {1 - [tan(A/2)]^2}/{1 + [tan(A/2)]^2} + {1 - [tan(B/2)]^2}/{1 + [tan(B/2)]^2}
= 1 - 2[tan(C/2)]^2/{1 + [tan(C/2)]^2} + 1 - 2[tan(A/2)]^2/{1 + [tan(A/2)]^2} + 1 - 2[tan(B/2)]^2/{1 + [tan(B/2)]^2}
= 1 - 2[sin(C/2)]^2 + 1 - 2[sin(A/2)]^2 + 1 - 2[sin(B/2)]^2
= cosC + cosA + cosB
≦ 3/2

謝謝鋼琴老師解惑！

請問填充題第12題及計算第二題，謝謝！

填充題第 12 題
甲乙兩人進行每局8分的桌球比賽，兩人實力相當(每一分甲乙獲勝機率各\(\displaystyle \frac{1}{2}\)，先得8分者獲勝)，已知這局比賽結果甲\(8:6\)獲勝，則這局比賽過程中，兩人分差保持最多相差兩分的機率=　　　。
(分差保持最多相差兩分意思是：這局比賽過程中，\(|\;甲分數−乙分數|\;\le 2\)。) (以指數型式作答即可)
[解答]
不能碰到圖上的兩條紅線
所求 = 729 / 2^14

謝謝鋼琴老師解惑！