計算第1題
(1)若(2−1)5=m+1−m ，則正整數m之值為何？
(2)請證明存在某一正整數m滿足：(2−1)2017=m+1−m 。
[提示]
利用
  2−1n=a+1−a2+1n=a+1+a 

可得m=1681及證出下一小題

110.11.16補充
證明對於任意自然數n，存在一個自然數k使得(2+1)n=k+k−1 。
(92高中數學能力競賽　中彰區)

111.2.5補充
給定正整數ab，對任意正整數n皆存在正整數m，使得(a−b)n=m+1−m 
試問：
(1)找出並證明符合此條件的所有數對(ab)
(2)數對(ab)的方程式(a−b)3=m+1−m ，在m是哪些正整數時，沒有正整數對解？
(109大理高中代理，https://math.pro/db/thread-3360-1-1.html)

111.3.21補充
Prove that (2−1)nnZ+  can be represented as m−m−1  for some mZ+.
(1994Canada National Olympiad，https://artofproblemsolving.com/ ... a_national_olympiad)

113.3.31補充
已知
(2  −1)2=9  −8 
(2  −1)3=50  −49 
(2  −1)4=289  −288 
試證明對於任意正整數n，皆存在正整數m使得(2  −1)n=m+1  −m 
(103大直高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1872&page=1#pid10132)

計算第3題
(1) a23b
(2) −5c27

填充第1題
設級數f(n)=1n−2n+3n−4n++2015n−2016n+2017n，求f(3)f(1)f(2)=　　　。
[解答]
  f1=1+−2+3+−4+5++−2016+2017=1009  f2=12+−22+32+−42+52+−20162+20172=1+5+9++4033=210091+4033=10092017

而f3 的做法與您相同


填充第7題
這題是老梗題了，一般都用代數做，應該無法轉成幾何來做

單選第4題
滿足x1+y1=11899的正整數數對(xy)共有多少組？
(A)5　(B)10　(C)15　(D)20
[解答]
  x1+y1=118991899y+1899x=xyx−1899y−1899=18992=342112

342112有15個正因數
所求為15組

單選第7題
試問\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{3}{\sqrt{nk}}\right)之值最接近下列哪一個選項？
(A)3　(B)2.7　(C)2.6　(D)2.5
[解答]
\begin{align}   & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sum\limits_{k=n}^{2n-1}{\frac{3}{\sqrt{nk}}} \right) \\ & =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}+\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+2n}}+\cdots +\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+{{n}^{2}}-n}} \right) \\ & =3\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{\sqrt{1+\frac{0}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}} \right) \\ & =3\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx} \\ & =3\left( 2\sqrt{2}-2 \right) \\ & =6\sqrt{2}-6 \\ \end{align}

填充第5題
求值：\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^3+8k^2+15k}=　　　。
[解答]
\begin{align}   & \frac{1}{{{k}^{3}}+8{{k}^{2}}+15k} \\ & =\frac{1}{k\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \\ & =\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{k\left( k+3 \right)}-\frac{1}{\left( k+3 \right)\left( k+5 \right)} \right] \\ & =\frac{1}{15}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)-\frac{1}{10}\left( \frac{1}{k+3}-\frac{1}{k+5} \right) \\ \end{align}

填充第7題
設z為複數，若|\;z|\;=2，則|\;z^2-2z+8|\;的最小值為　　　。
[解答]
令z=2\left( \cos \theta +i\sin \theta  \right)

\begin{align}   & \left| {{z}^{2}}-2z+8 \right| \\ & =\left| z \right|\left| z-2+\frac{8}{z} \right| \\ & =2\left| 2\cos \theta +2i\sin \theta -2+8\left( \frac{\cos \left( -\theta  \right)+i\sin \left( -\theta  \right)}{2} \right) \right| \\ & =2\left| 6\cos \theta -2-2i\sin \theta  \right| \\ & =2\sqrt{{{\left( 6\cos \theta -2 \right)}^{2}}+{{\left( -2\sin \theta  \right)}^{2}}} \\ & =2\sqrt{32{{\cos }^{2}}\theta -24\cos \theta +8} \\ & =2\sqrt{32{{\left( \cos \theta -\frac{3}{8} \right)}^{2}}+\frac{7}{2}} \\ & \ge \sqrt{14} \\ \end{align}

選擇第 2 題
設\theta為一銳角滿足\displaystyle \frac{16}{sin^6 \theta}+\frac{1}{cos^6 \theta}=81，則\tan\theta=
(A)\displaystyle \frac{1}{2}　(B)\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}　(C)1　(D)\sqrt{2}。
[提示]
跟今年彰女這題差不多
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=3#pid17207

重點是要證m是正整數

單選第 5 題
在坐標平面上，A點坐標為(-1,0)，B點坐標為(1,0)，點P是直線x+y=4上的一個動點，則向量\vec{AP}+\vec{BP}長度的最小值為下列哪一個選項？
(A)4　(B)4\sqrt{2}　(C)4\sqrt{3}　(D)4\sqrt{5}
[解答]
P(t，4 - t)，A(-1，0)，B(1，0)
向量 AP = (t + 1，4 - t)，向量 BP = (t - 1，4 - t)
向量 AP + 向量 BP = (2t，8 - 2t)
剩下就簡單了

單選第6題
考慮滿足以下條件的正整數數對(x,y)：(i)106\le x \le 2017；(ii)106\le y \le 2017；(iii)8x-5y=37。請問(x,y)共有幾組解？
(A)232　(B)233　(C)234　(D)235
[解答]
\begin{align}   & 8x-5y=37 \\ & y=\frac{8x-37}{5} \\ & x\equiv 4\ or\ 9\ \left( \bmod \ 10 \right) \\ &  \\ & 106\le \frac{8x-37}{5}\le 2017 \\ & 106\le x\le 2017 \\ & 106\le x\le 1265 \\ & x=109,114,119,\cdots ,1264 \\ \end{align}