填充題，見附加檔案。


計算題

第一題：如圖，設 O 為原點，在 x2+y2=1 且 y0 上半圓的圓周上有動點 B ，A(20)，C 為第一象限的點，ABC 是等腰三角形，且 BAC=90 ，

　　　　試問當 B 的點坐標為何時， OC 會有最大值。 註：圖床已倒，請看後續回覆有圖。

　　　　參考答案：B(2−222) 


第二題：敘述並證明「微積分基本定理」。

參考答案：詳見～維基百科



註：感謝 yungju 老師幫忙補圖！

第 12 題小弟提供另一種作法。

第 12 題：

nk=1(2k−1)5 

=nk=1(2k)5+nk=1−5(2k)4+10(2k3)−10(2k)2+5(2k)−1 

=32nk=1k5+O(n5) 

=3261n6+O(n5)+O(n5) 

=632n6+O(n5)　　（當 n ）

所以，limnn6nk=1(2k−1)5=316 




註：Big-O 定義請見 http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation

第 7,8 題用旋轉跟平移（善用轉軸不變量解題速度較快），

第 7,8,9 題的解法，可見 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2469 當中 nanage 老師的回覆之中的解題。

第 9 題是常見考古題，在 https://math.pro/db/thread-156-1-1.html 也有用積分的解法（與 thepiano 老師的解題方法一樣）。

若四次多項式方程式 f(x)=0 的四個根為 abcd，則

令 f(x)=kx−ax−bx−cx−d ，其中 k=0，

f(x)=kx−bx−cx−d+x−ax−cx−d 

　　　　　　+x−ax−bx−d+x−ax−bx−c 

因此，

f(x)f(x)=1x−a+1x−b+1x−c+1x−d。

第 13 題

解答：

令 h(x)=0xf(t)dt ，則

h(x)−h(x−1)=x2

所以，

h(x)=h(0)+h(1)−h(0)+h(2)−h(1)++h(x)−h(x−1) 

　　=0+12+22++x2

　　=6x(x+1)(2x+1)

　　=3x3+2x2+x6

故，

f(x)=ddxh(x)=x2+x+61

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上方解法有 bug（有興趣的可以想想看在哪裡），
用來猜出填充題的答案尚可~但其實有點問題~：Ｐ
小弟目前沒想到更好的解法～：Ｐ

利用複數，作下列三步驟

1. 平移到以 2+0i 為新原點，

2. 以原點為中心將點坐標逆時針旋轉 -90^\circ，即將複數乘上 \cos(-90^\circ)+i\sin(-90^\circ)=-i,

3. 平移到以 -2+0i 為新的原點。