填充第 3 題

如下圖，畫出以 AB 為一弦且圓心角為 120 （圓周角為 60）的圓

Untitled.png (25.6 KB)

2014-5-21 20:40

則兩圓內部區域及邊界上的點，即為滿足題意之 P 點所在位置，

所求面積 =4323602402+214343sin1202 

　　　　　=964+383 

填充第 8 題

題目所給兩函數的圖形皆對稱於 y 軸，

所以此兩函數的圖形交點 AB 亦對稱於 y 軸，

因為 AB=4，所以 AB 兩點的 x 坐標為 2 與 −2

且 AB 兩點的 y 坐標皆為 log2(1122+2004)=log2211=11

將 (211) 帶入 y=3x2+a−16 可得 a=−1

填充第 5 題 or 計算第 5 題呢？

填充第 5 題

令 BAD= ，則 DAC=2

由 BAD+DAC=BAC，

可得 2132sin+2126sin2=2136sin3

　　3sin+12sincos=93sin−4sin3 

顯然 sin 不為零，

所以 3+12cos=93−41−cos2 

解 cos 的一元二次方程式，可得 cos=6113 

其中，因為 +2180 為銳角，

所以 cos=61+13 

在 BAD 中，由餘弦定理，可得

　　\displaystyle \overline{BD}^2=3^2+2^2-2\cdot2\cdot3\cdot\frac{1+\sqrt{13}}{6}=11-2\sqrt{13}

　　\displaystyle \overline{BD}=\sqrt{11-2\sqrt{13}}.

填充第 1 題

因為 I 為內心，

所以，向量 \displaystyle \vec{AI}=\frac{b}{a+b+c}\vec{AB}+\frac{c}{a+b+c}\vec{AC}=\frac{6}{18}\vec{AB}+\frac{5}{18}\vec{AC}

令向量 \displaystyle \vec{AP}=m\vec{AB}, \vec{AQ}=n\vec{AC}

則 \displaystyle \vec{AI}=\frac{6}{18}\cdot\frac{1}{m} \vec{AP}+\frac{5}{18}\cdot\frac{1}{n}\vec{AQ}

因為 I,P,Q 共線，所以 \displaystyle \frac{1}{3m}+\frac{5}{18n}=1

依題意，即要求 mn 之最小值，

由算幾不等式，可得

　　\displaystyle \frac{\frac{1}{3m}+\frac{5}{18n}}{2}\geq\sqrt{\frac{1}{3m}\cdot\frac{1}{18n}}

　　\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^2\geq\frac{5}{54mn}

　　\displaystyle \Rightarrow mn\geq\frac{10}{27}.

計算第 2 題：詳見 https://math.pro/db/thread-457-1-1.html

計算第 3 題：詳見 https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

直接用判別式可能會忽略掉的地方是～忘掉確認是否有滿足條件 -1\leq \sin x\leq 1。



填充第 2 題：

令 t=\sin x，則 -1\leq t\leq1,

\displaystyle y=\frac{t^2+t+1}{\left(1-t^2\right)-t-3}=-\frac{t^2+t+1}{t^2+t+2}=-1+\frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}

因為  -1\leq t\leq1，

所以 \displaystyle -\frac{1}{2}\leq t+\frac{1}{2}\leq\frac{3}{2}

　　 \displaystyle \Rightarrow 0\leq \left(t+\frac{1}{2}\right)^2\leq\frac{9}{4}

　　 \displaystyle \Rightarrow \frac{7}{4}\leq \left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\leq4

　　 \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}\leq \frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\leq\frac{4}{7}

　　 \displaystyle \Rightarrow \frac{-3}{4}\leq -1+\frac{1}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\leq\frac{-3}{7}

故，\displaystyle M=\frac{-3}{7}, m=\frac{-3}{4}

　　\displaystyle \Rightarrow 2M+m=\frac{-45}{28}.

計算第 5 題：
三平面E_1：a_1x+b_1y+c_1z=d_1、E_2：a_2x+b_2y+c_2z=d_2、E_3：a_3x+b_3y+c_3z=d_3在空間中形成兩兩平面交於一線，且此三線平行，
試證明：\Delta=\left| \matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|=0，且\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|、\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|、\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|三者至少有一個不是0。
[解答]
通常教師手冊都會有詳細的證明，但大多步驟有點長，

之前在龍騰的《數學新天地》有看到過一篇北一女蘇俊鴻老師的《用向量來看平面族定理》

h ttp://www.lungteng.com.tw/LungTengNet/HtmlMemberArea/publish/Newpaper/013/math/N7202-ebook(p26~35).pdf　連結已失效

當中頁碼第 34 頁（該頁左下角的段落）有個超簡潔的證明。

111.4.10補充
上傳 用向量來看平面族定理.pdf

111.7.12補充
設E_1：a_1x+b_1y+c_1z=d_1、E_2：a_2x+b_2y+c_2z=d_2、E_3：a_3x+b_3y+c_3z=d_3為空間中三平面，令
\Delta=\left| \matrix{a_1&b_1&c_1\cr a_2&b_2&c_2\cr a_3&b_3&c_3}\right|=0，\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|、\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|、\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|，
試證：若此三平面相異且相交於一直線，則\Delta=\Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0
(97松山家商，https://math.pro/db/thread-649-1-1.html)

若線性方程組L：\cases{a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \cr a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \cr a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3}在坐標空間中代表三個平面，兩兩相交於一線，且三交線兩兩互相平行，
試證明：\Delta_x=\left| \matrix{d_1&b_1&c_1\cr d_2&b_2&c_2\cr d_3&b_3&c_3}\right|、\Delta_y=\left| \matrix{a_1&d_1&c_1\cr a_2&d_2&c_2\cr a_3&d_3&c_3}\right|、\Delta_z=\left| \matrix{a_1&b_1&d_1\cr a_2&b_2&d_2\cr a_3&b_3&d_3}\right|不全為0。
(111屏東高中，https://math.pro/db/thread-3663-1-1.html)

前人解過，計算題第 1, 4, 6 題：http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2525



我也動手來解一遍~

計算第 6 題：

為了方便計算，小弟把題目修改一下～

把整個拋物線 y=x^2-1 與點 (1,2) 都上移一單位，

得拋物線 y=x^2 與點 P(1,3)

設通過 P 的直線 L 會交拋物線 y=x^2 於 A(a,a^2) 與 B(b,b^2)，其中 b>a，

因為 A,P,B 三點共線，所以 \displaystyle\frac{a^2-3}{a-1}=\frac{b^2-3}{b-1}\Rightarrow \left(b-a\right)\left(ab-a-b+3\right)=0

且因為 b>a，所以 ab-a-b+3=0\Rightarrow ab = a+b-3

則 L 與拋物線所圍面積＝\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left(a^2+b^2\right)\left(b-a\right)-\int_a^b x^2 dx

　　　　　　　　　　　　=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left(a^2+b^2\right)\left(b-a\right)-\frac{b^3-a^3}{3}

　　　　　　　　　　　　=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(b-a\right)^3

　　　　　　　　　　　　=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b\right)^2-4ab}\right)^3

　　　　　　　　　　　　=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b\right)^2-4(a+b-3)}\right)^3

　　　　　　　　　　　　=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{\left(a+b-2\right)^2+8}\right)^3

　　　　　　　　　　　　\geq\displaystyle\frac{1}{6}\cdot \left(\sqrt{8}\right)^3=\frac{8\sqrt{2}}{3}

此時，a+b=2\Rightarrow ab=-1 且由 b>a，可解得 a=1-\sqrt{2}, b=1+\sqrt{2}


註： 延伸閱讀～　h ttp://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/51/pdf/040414.pdf連結已失效

填充第 6 題
設A(1,1,0),B(2,1,-1),C(3,2,-2)，則\Delta ABC的垂心座標為。
[解答]
照定義做就可以了，

由（1）向量 AH內積向量 BC=0  且 （2）向量 BH內積向量 AC=0 且 （3）H 在 ΔABC 所在平面上  

即可得 H 的點坐標。

112.7.1補充
設A(0,1,2)，B(-1,2,1)，C(1,0,1)為空間中的三點，則\Delta ABC的垂心坐標為　　　。
(112屏東高中，https://math.pro/db/thread-3766-1-1.html)