或許看完這篇 https://math.pro/db/thread-222-1-1.html 你應該就會有證明的想法了，

如果看完之後真的還是沒有想法的話，傳個短訊息給我，我再來寫個詳細證明。 ^__^

第 3 題

解答：

令 3+7n=C0n3n+C1n3n−17+C2n3n−272++Cnn7n 

　　　　　=A+B7  ，其中 AB 為整數，

則 3−7n=C0n3n−C1n3n−17+C2n3n−272++−1nCnn7n 

　　　　　=A−B7 


3+7n+3−7n=2A 

3+7n=2A−1+1−3−7n 

又因為 03−7103−7n101−3−7n1 

所以 3+7n  的整數部分為 2A−1，小數部分為 1−3−7n 

故，3+7n  的整數部分為奇數。

第 4 題：

因為 x 為實數，

必存整數 m，使得 2mx2m+1 或 2m+1x2m+2

case i: 若 2mx2m+1，則 [x]=2m

　　　　且 mx2m+21[x2]=m

　　　　且 m+212x+1m+1[2x+1]=m

　　　　所以 [x2]+[2x+1]=[x]

case ii: 若 2m+1x2m+2，則 [x]=2m+1

　　　　且 m+21x2m+1[x2]=m

　　　　且 m+12x+1m+1+21[2x+1]=m+1

　　　　所以 [x2]+[2x+1]=[x]

由 case i & ii 可得 [x2]+[2x+1]=[x]

第 5 題：

設將 12327 任意圍成一圈依序為 a1a2a3a27 可使相鄰兩整數和為質數，

因為 1 只出現一次，因此相鄰兩整數和必為奇質數，

設 a1+a2=p1a2+a3=p2a3+a4=p3a27+a1=p27　‧‧‧‧‧‧（＊）

其中 p1p2p3p27 皆為奇質數，

將（＊）列的 27 個式子相加，

可得 2a1+a2+a3++a27=p1+p2++p27 

上式左邊為偶數，上式右邊為奇數個奇質數的和為奇數，矛盾，

故，不可能將 12327 排成一圈圈使得相鄰兩整數和皆為質數。

第 9 題：

一、當 n=123 時，易知 211+120221+221231+322  皆成立。

二、假設當 n=k，其中 k 為不小於 3 的整數時，2k1+k2k−1  會成立。

　　則當 n=k+1 時，

　　2k+1=22k2(1+k2k−1) 

　　　　=2+2k22k−1 

　　　　1+14k2k=1+(k+04k)2k 

　　　　1+(k+1)2k 　亦成立。

由一、二及數學歸納法原理，

可知對任意自然數 n，2n1+n2n−1  皆成立。